人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 等式与不等式 2.2.4 第1课时 均值不等式.pptVIP

第二章2.2.4第1课时均值不等式

课程标准1.能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式.2.能够利用求差法推导均值不等式,理解均值不等式的几何意义.3.明确均值不等式的形式及等号成立的条件,会用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.

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知识点1均值不等式1.给定两个正数a,b,数称为a,b的;数称为a,b的.?2.均值不等式:如果a,b都是,那么,当且仅当时,等号成立.均值不等式也称为,其实质是:两个正实数的算术平均值它们的几何平均值.?算术平均值几何平均值正数a=b基本不等式不小于

名师点睛1.重要不等式对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.不等式a2+b2≥2ab的变形

3.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的比较不等式a2+b2≥2ab适用范围a,b∈Ra0,b0文字叙述两数的平方和不小于它们积的2倍两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值等号成立的条件a=ba=b

4.均值不等式的变形

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)×××

2.已知实数x,y满足x2+y2=2,那么xy的最大值为()C解析由x2+y2=2≥2xy,可得xy≤1,当且仅当x=y=1或x=y=-1时,等号成立.故选C.

知识点2重要结论已知x,y都为正数,则

名师点睛利用均值不等式求最值的注意事项当应用均值不等式求最值时,要把握其成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.

二定:积或和为定值.积为定值,和有最小值;和为定值,积有最大值.为了利用均值不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.另外,在连续使用公式求最值时,等号成立的条件很严格,要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致.

过关自诊1.已知x0,y0,且x+y=1,则xy的最大值为.?2.[人教A版教材例题]已知x0,求x+的最小值.

重难探究·能力素养全提升

探究点一对均值不等式的理解【例1】(1)若a,b∈R,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()分析利用均值不等式时需注意使用条件.D解析对于A选项,当a=b时,应有a2+b2=2ab,所以A选项错;对于B,C,条件ab0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D选项,因为ab0,

C解析因为a0,所以当且仅当a=1时,a+1≥2中等号成立.

变式训练1下列不等式的推导过程正确的是.?①②解析①中因为x1,所以x+2.②正确.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件.

探究点二利用均值不等式求最值

(2)已知0x1,求x(4-3x)的最大值.

规律方法通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.

探究点三利用均值不等式证明不等式分析不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用均值不等式,将和变积,并证得不等式.证明∵a0,b0,c0,∵a,b,c为不全相等的正实数,∴等号不成立.

(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,分析不等式右边的数字为8,使我们联想到对左边因式分别使用均值不等证明∵a,b,c为正实数,且a+b+c=1,

由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得

规律方法利用均值不等式证明不等式的注意事项(1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的目的.(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用均值不等式时,可将原不等式进行组合、构造,变成能使用均值不等式的形式.(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1的代换”,即把常数“1”替换为已知的式子,经过整理后再利用均值不等式进行证明.

变式训练3(1)已知a,b,c,d都是正数,证明:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.证明因为a,b,c,d都是正数,所以当且仅当ab=cd,且ac=bd时等号成立.故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.

成果验