人教B版高中数学必修第三册精品课件 第7章 三角函数 7.3.1 第1课时 正弦函数的性质.ppt

第1课时正弦函数的性质第七章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.了解正弦函数的定义.2.掌握正弦函数的性质并能求解一些简单的问题.3.培养直观想象、逻辑推理素养.

自主预习新知导学

正弦函数的性质1.设y=sinx,对于任意的x∈R,与之对应的y是否唯一?提示:是.2.当x取何值时,sinx取得最大值1?若sinx=0,则x取何值?提示:x=2kπ+,k∈Z;x=kπ,k∈Z.

3.(1)对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sinx与之对应,因此y=sinx是一个函数,一般称为正弦函数.(2)正弦函数的性质函数y=sinx定义域(-∞,+∞)值域[-1,1]奇偶性奇函数周期性最小正周期:2π

(3)周期性:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期.对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称为f(x)的最小正周期.4.函数y=sinx+5的最小值为4;最小正周期为2π;单调递减区间为;它有0个零点.

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)正弦函数的定义域为[0,2π],值域为[-1,1].()(2)π是y=sinx的一个零点.()(3)y=sinx,x∈[-10π,10π]是周期函数.()(4)y=sinx在一个周期上有一个单调递增区间和一个单调递减区间.()(5)正弦函数y=sinx,x∈R有无穷个周期.()×√××√

合作探究释疑解惑

探究一求函数的定义域【例1】求下列函数的定义域.分析:根据函数的解析式列出不等式(组)求解.解:(1)要使函数有意义,需sinx≠0,∴x≠kπ,k∈Z.∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.(2)要使函数有意义,需sinx≥0,∴2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,∴函数的定义域为[2kπ,2kπ+π](k∈Z).

求与正弦函数有关的函数的定义域时,可借助三角函数线求解.

【变式训练1】求函数y=+log2sinx的定义域.

探究二正弦函数单调性的应用分析:根据f(x)的单调性比较.

比较三角函数值的大小时,需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数,用三角函数的单调性即可得解,如果角不在同一单调区间上,那么一般先用诱导公式进行转化,再进行比较.

【变式训练2】(1)sin1,sin2,sin3的大小关系是()A.sin1sin2sin3 B.sin3sin2sin1C.sin2sin3sin1 D.sin3sin1sin2(2)函数y=-3sinx+1的单调递减区间为,若x∈[0,π],则y=-3sinx+1的单调递减区间为.?

探究三函数的值域与最值问题【例3】已知函数y=f(x)=1-2sin2x+sinx.(1)若x∈R,求f(x)的值域;

换元法要防止破坏等价性;转化为同一函数,要注意sinx有-1≤sinx≤1.

【变式训练3】设|x|≤,求函数f(x)=cos2x+sinx的最小值.

易错辨析因忽视系数的正负致错【典例】已知函数y=asinx+2,x∈R的最大值为3,求实数a的值.错解:因为函数y=asinx+2,x∈R的最大值为3,所以当sinx=1时,ymax=a+2=3,所以a=1.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?提示:上面求解时忽视了对a0,a0两种情况的讨论.正解:由题意知,a≠0.若a0,则当sinx=1时,函数y=asinx+2(x∈R)取最大值a+2,所以a+2=3,a=1;若a0,则当sinx=-1时,函数y=asinx+2(x∈R)取得最大值-a+2=3,所以a=-1.综上可知,a的值为±1.

对于函数y=Asinx+B(A≠0),当A0时,sinx取最大(小)值时y取最大(小)值;当A0时,sinx取最大(小)值时,y取最小(大)值.

随堂练习

A.0 B.1 C.2 D.3解析:sin0=sinπ=0,故有2个零点.答案:C

2.函数y=2-sinx的最大值及取最大值时x的值为()解析:当sinx=-1时,ymax=3,此时x=2kπ-(k∈Z).答案:C

4.函数y=-sinx+的最小正周期是;单调递