人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 2.3.2 圆的一般方程.pptVIP

第二章2.3.2圆的一般方程

课程标准1.掌握圆的一般方程及其特点;2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程;3.能熟练地指出圆心的位置和半径的大小;4.能根据某些具体条件,用待定系数法确定圆的方程,并能解决相关实际问题;5.了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.

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基础落实·必备知识全过关

知识点1圆的一般方程圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,限制条件是.?过关自诊已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一个圆,则实数m的取值范围为.D2+E2-4F0解析由已知得1+1-4m0,得m.

知识点2方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形条件图形D2+E2-4F0不表示任何图形D2+E2-4F=0表示一个点D2+E2-4F0表示以为圆心,为半径的圆

名师点睛圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F0成立,则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.

过关自诊[人教A版教材习题]判断下列方程分别表示什么图形,并说明理由:(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x+4y-6=0.解(1)方程x2+y2=0表示一个点(0,0).(2)方程x2+y2-2x+4y-6=0可化为(x-1)2+(y+2)2=11,故表示圆心坐标是(1,-2),半径是的圆.

重难探究·能力素养全提升

探究点一判断圆的方程【例1】[北师大版教材例题]讨论方程λ(x2+y2)=(x-3)2+y2表示的是怎样的图形.解将原方程整理为(λ-1)x2+(λ-1)y2+6x-9=0.①当λ=1时,方程①是一元一次方程6x-9=0,表示与x轴垂直的直线.当λ0时,方程②无解,故原方程不表示任何图形;

规律方法判断方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的方法

变式训练1[人教A版教材习题]判断方程x2+y2+2ax-b2=0表示什么图形,并说明理由.解方程x2+y2+2ax-b2=0可化为(x+a)2+y2=a2+b2.当a2+b2≠0时,原方程表示圆心坐标是(-a,0),半径是的圆;当a2+b2=0,即a=0且b=0时,方程x2+y2+2ax-b2=0表示一个点(0,0).

探究点二求圆的一般方程【例2】已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程;(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求实数a的值.解(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意,得故△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.

变式探究若本例中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程?

规律方法应用待定系数法求圆的方程时应注意的问题(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,那么一般采用圆的标准方程,用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那么一般采用圆的一般方程,用待定系数法求出常数D,E,F.

变式训练2[北师大版教材习题]已知圆经过A(0,2),B(-1,1)两点,且圆心在直线x+2y-1=0上,求圆的方程.所以圆的方程为x2+y2-2x-4=0.

探究点三求动点的轨迹方程问题【例3】如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.

解设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0).因为点C的坐标是(4,3)且C是把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理得(x-9)2+(y-6)2=4,所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.

规律方法与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决,解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等.(1)直接法:根据题设,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式;(2)定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出点的轨迹方程;(3)相关点代入法:若动点P(x,y)因为已知圆上的另一动点Q(x1,y1)而运动,且x1,y1可用x,y表示,则用x,y表示出x1,y1,并将点Q的坐标代入已知圆的方程,求得动