北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 §6 6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形.pptVIP

6.1余弦定理与正弦定理第3课时用余弦定理、正弦定理解三角形

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随堂练习

课标定位素养阐释1.进一步理解正弦定理、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系.2.掌握通过正弦定理、余弦定理进行边角转化的方法,以及解决有关三角形中的几何度量问题.3.了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要作用,培养学生灵活运用知识的能力.4.通过三角形中的几何计算培养数学运算、逻辑推理素养.

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用余弦定理、正弦定理解三角形【问题思考】求AD的长.看到该问题之后,到确定解决方案之前,你通常要做哪些工作?提示:(1)画出图形;(2)理清已知条件,要求的目标;(3)根据条件、目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件.

2.在三角形的三条边和三个角这6个元素中,如果已知3个(至少含有一边长),那么由余弦定理和正弦定理,就可以求得其他3个元素,具体情况如下:情形1:已知两个角的大小和一条边的长.先由三角形内角和等于180°求出第三个角的大小,然后根据正弦定理求得另外两条边的边长.情形2:已知两条边的边长及其夹角的大小.先由余弦定理求出第三边的边长,再由余弦定理求得第二、第三个角的大小.

情形3:已知三条边的边长.由余弦定理求出两个角,再利用三角形内角和等于180°求第三个角.情形4:已知两条边的边长和其中一边对角的大小.首先,由正弦定理求出第二条边所对角的正弦,这时,要判断是两解、一解还是无解.然后,根据三角形内角和等于180°得到第三个角的大小.最后,由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长.

3.(1)若角A是△ABC中最大的角,则角A的取值范围是;?(2)在△ABC中,若A=,则角B的取值范围是.?

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)若△ABC的外接圆半径为R,其三边长为a,b,c,则△ABC的面积S=.()(2)存在△ABC,使sinA+sinBsinC.()(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积.()√××

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三

探究一解决线段的长度和角度问题【例1】如图2-6-2,在Rt△BEC中,∠EBC=30°,∠BEC=90°,CE=1,分别以BE,CE为边向Rt△BEC外作等边三角形EBA和等边三角形CED.(1)求线段AD的长;(2)比较∠ADC和∠ABC的大小.分析:(1)解Rt△BEC求得BE,在△ADE中用余弦定理求得AD;(2)将问题转化为比较∠ADE,∠EBC的大小.图2-6-2

(2)∵∠ADC=∠ADE+60°,∠ABC=∠EBC+60°,∴问题转化为比较∠ADE与∠EBC的大小.

反思感悟求线段的长度与角度的方法:(1)求线段的长度往往归结为求三角形的边长,解决此类问题要恰当地选择或构造三角形,利用正弦定理、余弦定理求解;(2)求角度时,把所求的角看作某个三角形的内角,利用正弦定理、余弦定理求解,或利用A+B+C=π求解.

【变式训练1】如图2-6-3,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求sin∠ADB;(2)若DC=2,求BC.图2-6-3

探究二解决与三角形面积有关的问题【例2】(1)在△ABC中,A=30°,C=45°,a=2,求S△ABC;(2)若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,求边AB的长度.分析:对于(1),已知△ABC的两角及其中一角的对边,可通过解三角形求出另外的量再求面积;对于(2),首先可通过面积公式求出AC,然后可利用余弦定理求AB,也可以利用三角形的性质求AB.

又C=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AB=2,即边AB的长度等于2.

反思感悟求三角形面积时,要根据题目中所给的条件,选择最佳的解题方法,当给出三角形的两边及夹角求面积时,常用公式S△ABC=,反过来,给出三角形的面积也可利用上述公式求得相应的边和角.

【变式训练2】如图2-6-4,D是△ABC的边BC上一点,2AB=3AC,BD=3,sin∠CAD=2sin∠BAD.图2-6-4(1)求DC的长;(2)若AD=2,求△ABC的面积.

解:(1)在△ABD和△ADC中,(2)在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB.在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC.

因为2AB=3AC,AD=2,BD=3,DC=4,cos∠ADB