北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 习题课——向量的线性运算.pptVIP

第二章平面向量及其应用习题课——向量的线性运算

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.进一步掌握向量的线性运算、向量加法、向量减法的运算法则.2.熟练掌握平面向量基本定理,会用基表示向量.3.掌握向量共线的条件,并会运用.4.加强逻辑推理、数学运算素养的培养.

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一、向量的线性运算【问题思考】1.表2-4-1

减法运算为加法运算的逆运算.2.向量共线的判定定理a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.

答案:A

4.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基.

二、平面向量的坐标运算【问题思考】1.向量加法、减法、数乘设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).2.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).

3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a,b共线?x1y2-x2y1=0.A.(-2,7) B.(-6,21)C.(2,-7) D.(6,-21)答案:B

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.()(2)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.()(3)平面内的任何两个向量都可以作为一组基.()√√×

(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成.()(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.()×√

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探究一平面向量的线性运算

答案:A

反思感悟向量线性运算的方法技巧:由于向量具有数形两方面的性质,在进行向量的线性运算时,一定要结合图形进行,即将向量转化到同一三角形或平行四边形中,利用三角形法则或平行四边形法则求解.

答案:D图2-4-6

探究二平面向量基本定理的应用

答案:A

反思感悟1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基,并运用该基将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.

答图2-4-6

探究三共线定理的应用(2)设线段AB,OE,CD的中点分别为L,M,N,试证明L,M,N三点共线.图2-4-8

反思感悟1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线.

【变式训练3】设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与2a-b共线,则λ=.?

探究四平面向量的坐标运算【例4】设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为().A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)解析:由题意可知,4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,∴d=-6a-4b+4c.∴d=-6(1,-3)-4(-2,4)+4(-1,-2).∴d=(-2,-6).答案:D

反思感悟向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

【变式训练4】已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=().A.(-23,-12) B.(23,12)C.(7,0) D.(-7,0)答案:A

随堂练习

答案:A

(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.