北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 §5 5.2 向量数量积的坐标表示--5.3 利用数量积计算长度与角度.pptVIP

§5从力的做功到向量的数量积5.2向量数量积的坐标表示5.3利用数量积计算长度与角度

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随堂练习

课标定位素养阐释1.掌握数量积的坐标表达式,能用坐标表示平面向量的数量积.2.能用数量积的坐标运算判断两个平面向量的垂直关系.3.用坐标运算求向量的模及夹角.4.通过求解两向量的夹角及判断两向量的垂直关系,提升数学运算素养.

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一、平面向量数量积的坐标表示【问题思考】1.在平面直角坐标系中,设i,j分别是x轴和y轴方向上的单位向量,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),试将a,b用i,j表示,并计算a·b.提示:∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2.∵i2=1,j2=1,i·j=0,∴a·b=x1x2+y1y2.

2.平面向量数量积:(1)符号表示:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(2)语言叙述:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.3.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=().A.12 B.0 C.-3 D.-11解析:∵a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),∴a+2b=(-5,6),∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3.答案:C

二、平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式【问题思考】1.在平面直角坐标系中,设i,j分别是x轴和y轴方向上的单位向量,若a=(x,y),试将向量的模|a|用坐标表示.提示:∵a=xi+yj,x,y∈R,∴a2=(xi+yj)2=(xi)2+2xyi·j+(yj)2=x2i2+2xyi·j+y2j2.又i2=1,j2=1,i·j=0,∴a2=x2+y2,

图2-5-4

4.已知a=(2,-1),b=(2,3),则a·b=,|a+b|=.?

三、向量的夹角与垂直【问题思考】1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a⊥b,则a,b坐标间有何关系?提示:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.2.设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,那么cosθ如何用坐标表示?

4.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为.?

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)若两非零向量的夹角θ满足cosθ0,则两向量的夹角θ一定是钝角.()×√

(4)已知a≠0,且a·c=a·b,则b=c.()√×

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三

探究一平面向量数量积的坐标运算【例1】已知向量a和b同向,b=(1,2),a·b=10,求:(1)向量a的坐标;(2)若c=(2,-1),求(a·c)·b.分析:(1)根据向量a和b同向,设出a的坐标,根据数量积建立等式求解;(2)先根据数量积的坐标公式求a·c,再根据数乘运算求结果.

解:(1)设a=λb=(λ,2λ)(λ0).∵a·b=10,∴λ+4λ=10,解得λ=2,∴a=(2,4).(2)(a·c)·b=[2×2+4×(-1)]·b=0·b=0.反思感悟1.进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.2.对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.

答案:5

探究二求向量的长度【例2】已知平面向量a=(1,1),b=(0,2),求a-2b的坐标和模的大小.分析:首先利用向量的坐标运算求得a-2b的坐标,然后求模.解:∵a=(1,1),b=(0,2),∴a-2b=(1,1)-2(0,2)=(1,-3),

例2中的条件不变,若c=3a-(a·b)b,试求|c|.解:∵a·b=1×0+1×2=2,∴c=3(1,1)-2(0,2)=(3,-1),

反思感悟求向量的模的两种基本策略:(1)字母表示的运算,利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示的运算,若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有

【变式训练2】(1)已知向量a=(1,2),b=(2,x),若a·b=-4,则|2a+b|=.?(2)已知向量a,b满足|a|=4,b=(-1,),且|a+kb|=0,则|k|的值为.?

探