北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 §6 6.1 第1课时 余弦定理 (2).pptVIP

6.1余弦定理与正弦定理第1课时余弦定理

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余弦定理【问题思考】1.根据勾股定理,若在△ABC中,C=90°,则c2=a2+b2=a2+b2-2abcosC.①试验证①式对等边三角形还成立吗?你有什么猜想?提示:当a=b=c时,C=60°,a2+b2-2abcosC=c2+c2-2c·ccos60°=c2,即①式仍成立,据此猜想,对一般△ABC,都有c2=a2+b2-2abcosC.

2.在c2=a2+b2-2abcosC中,abcosC能解释为哪两个向量的数量积?你能由此证明1中的猜想吗?

3.(1)余弦定理的推导:=b2-2bccosA+c2,即a2=b2+c2-2bccosA.图2-6-1

(2)余弦定理表2-6-1余弦定理是勾股定理的推广.

4.想一想:观察余弦定理的符号表示及推论,你认为余弦定理可用来解哪类三角形?提示:(1)已知两边及其夹角,解三角形;(2)已知三边,解三角形.

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探究一已知两边及一角解三角形解析:(1)在△ABC中,由余弦定理得,答案:(1)7(2)5

反思感悟已知三角形的两边及一角解三角形的方法:先判断该角是给出两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.

探究二三角形形状的判断【例2】在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且cosA=,试确定△ABC的形状.

所以a2=b2,所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,即b2=c2.所以b=c,所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.

反思感悟1.要判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系:是否两边相等,是否三边相等,是否符合勾股定理的逆定理;还要研究角与角的大小关系:是否两个角相等,是否三个角相等,有无直角或钝角.2.解此类题的思想方法:从条件出发,利用余弦定理进行代换、转化、化简、运算,发现边与边的关系或角与角的关系,从而作出正确判断.

3.判断三角形形状时,还经常用到以下结论:在△ABC中,设abc,若a2=b2+c2,则△ABC为直角三角形;若a2b2+c2,则△ABC为钝角三角形;若a2b2+c2,则△ABC为锐角三角形.

易错辨析

忽视三角形各边满足的条件致误【典例】在钝角三角形ABC中,a=1,b=2,c=t,且C是最大角,求t的取值范围.错解:∵△ABC是钝角三角形,且C是最大角,

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解忽略了两边之和大于第三边,即a+bc这个隐含条件,导致t的取值范围变大.

正解:∵a,b,c是△ABC的三边,∴b-aca+b,∴2-1t1+2,∴1t3.又△ABC是钝角三角形,且C是最大角,∴90°C180°.∴cosC0,

防范措施在三角形中,当解决边和角的范围问题时,首先要考虑到三角形中的隐含条件,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.