新高考数学一轮复习 讲与练第28讲 双曲线（解析版）.docVIP

第28讲双曲线

学校____________姓名____________班级____________

知识梳理

1.双曲线的定义

一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.

其数学表达式：集合M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.

(1)若ac，则点P的轨迹为双曲线；

(2)若a＝c，则点P的轨迹为两条射线；

(3)若ac，则点P的轨迹不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)

图形

性质

范围

x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线

y＝±eq\f(b,a)x

y＝±eq\f(a,b)x

离心率

e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a，b，c的关系

c2＝a2＋b2

考点和典型例题

1、双曲线的定义和标准方程

【典例1-1】已知双曲线的两个焦点分别为SKIPIF10，SKIPIF10，双曲线上一点SKIPIF10与SKIPIF10，SKIPIF10的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（???????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】C

【详解】

由题意，SKIPIF10，则SKIPIF10，结合条件可知，双曲线的标准方程为SKIPIF10.

故选：C.

【典例1-2】在平面直角坐标系中，已知SKIPIF10的顶点SKIPIF10，SKIPIF10，其内切圆圆心在直线SKIPIF10上，则顶点C的轨迹方程为（???????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10

C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】A

【详解】

解：如图设SKIPIF10与圆的切点分别为SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10，

则有SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，

所以SKIPIF10．

根据双曲线定义，所求轨迹是以SKIPIF10、SKIPIF10为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），

即SKIPIF10、SKIPIF10，又SKIPIF10，所以SKIPIF10，

所以方程为SKIPIF10．

故选：A．

【典例1-3】已知SKIPIF10是双曲线SKIPIF10的左焦点，SKIPIF10，SKIPIF10是双曲线右支上的动点，则SKIPIF10的最小值为（???????）

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】A

【详解】

由SKIPIF10，得SKIPIF10，则SKIPIF10，

所以左焦点为SKIPIF10，右焦点SKIPIF1