第三讲-§5.3-平面自治系统的基本概念(6课时).docVIP

第三讲§5.3平面自治系统的根本概念(6课时)

一、教学目的：理解相平面、相轨线和相图的概念；掌握掌握平面自治系统的三个根本性质及应用；理解常点、奇点与闭轨的有关概念。

二、教学要求：理解相平面、相轨线和相图的概念；掌握掌握平面自治系统的三个根本性质；理解常点、奇点与闭轨的有关概念。

三、教学重点：平面自治系统的三个根本性质及应用。

四、教学难点：相平面、相轨线和相图等概念。

五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

七、教学过程：

5.3平面自治系统的根本概念

本节考虑平面自治系统

〔5.18〕

以下总假定函数P(x,y),Q(x,y)在区域

上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.

相平面、相轨线与相图

我们把xOy平面称为(5.18)的相平面，而把(5.18)的解x=x(t)，y=y(t)在xOy平面上的轨迹称为(5.18)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上的图象称为(5.18)的相图.

易于看出，解x=x(t)，y=y(t)在相平面上的轨线，正是这个解在(t,x,y)三维空间中的积分曲线在相平面上的投影.我们以后会看到，用轨线来研究(5.18)的解通常要比用积分曲线方便得多.

下面通过一个例子来说明方程组的积分曲线和轨线的关系.

????例1

很明显，方程组有特解.它在(t,x,y)三维空间中的积分曲线是一条螺旋线(如图5-3(a))，它经过点(0，1，0).当t增加时，螺旋线向上方盘旋.上述解在xOy平面上的轨线是圆，它恰为上述积分曲线在xOy平面上的投影.当t增加时，轨线的方向如图5-3(b)所示.

另外，易知对于任意常数，函数也是方程组的解.它们的积分曲线是经过点(-,1,0)的螺旋线.但是，它们与解有同一条轨线

图5-3

同时，我们可以看出，的积分曲线可以由的积分曲线沿t轴向下平移距离a而得到.由于a的任意性，可知轨线对应看无穷多条积分曲线.

为了画出方程组在相平面上的相图，我们求出方程组通解.

其中A，a为任意常数.于是，方程组的轨线就是圆族(图5-3〔b〕)，特别，x=0,y=0是方程的解，它的轨线是原点

平面自治系统的三个根本性质

性质1.积分曲线的平移不变性

设x=x(t)，y=y(t)是自治系统(5.18)的一个解，那么对于任意常数τ，函数

x=x(t+τ),y=y(t+τ)

也是(5.18)的一个解.

事实上，我们有恒等式

由这个事实可以推出：将(5.18)的积分曲线沿t轴作任意平移后，仍然是(5.18)的积分

性质2.轨线的唯一性

如果P(x,y)，Q(x,y)满足初值解的存在与唯一性定理条件，那么过相平面上的区域D的任一点，(5.18)存在一条且唯一条轨线.事实上，假设在相平面的P0点附近有两条不同的轨线段l1和l2都通过点．那么在(t,x,y)空间中至少存在两条不同的积分曲线段和(它们有可能属于同一条积分曲线)，使得它们在相空间中的投影分别是l1和l2(见图5-4)，这时不妨设t1t2．现在把所在的积分曲线沿t轴向右平移，那么由性质1知道，平移后得到的仍是系统(5.18)的积分曲线，并且它与至少有一个公共点．因此，利用解的唯一性，和应完全重合，从而它们在相空间中有相同的投影．另一方面，与在相空间显然也有相同的投影，这蕴含和在相平面中的点附近有相同的投影，而这与上面的假设矛盾.

性质1和性质2说明，相平面上每条轨线都是沿轴可平移重合的一族积分曲线的投影，而且只是这族积分曲线的投影.

此外，由性质1同样还可知道，系统(5.18)的解的一个平移仍是(5.18)的解，并且它们满足同样的初始条件，从而由解的唯一性知

，

因此，在(5.18)的解族中我们只须考虑相应于初始时刻的解，并简记为

常点、奇点与闭轨

现在考虑自治系统(5.18)的轨线类型.显然，(5.18)的一个解x=x(t),y=y(t)所对应的轨线可分为自身不相交和自身相交的两种情形.其中轨线自身相交是指，存在不同时刻，使得．这样的轨线又有以下两种可能形状：

(1)假设对一切有，那么称，为(5.18)的一个定常解.它所对应的积分曲线是(t,x,y)空间中平行于t轴的直线，.对应此解的轨线是相平面中一个点.我们称为奇点(或称平衡点).显然是(5.18)的一个奇点的充分必要条件是

不是奇点的相点称为常点．

(2)假设存在T＞0，使得对一切t有

,

那么称为(5.18)的一个周期解，T为周期.它所对应的轨线显然是相平面中的一条闭曲线，称为闭轨.

由以上讨论和(5.18)轨线的唯一性，我们有如下结论：自治系统(5.18)的一条轨线只可能是以下三种类型之一：

(1)奇点，(2)