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第十节积分不等式的证明（送分绝活）
常规操作：构造新函数利用单调性
本部分与《第二章一元微分学第六节函数不等式问题》的最后一部分的方法：
“常见做法：若待证明的积分限为0→1，修改为0→，进而研究新函数的单调性”
做法相同
例：设()在[a,b]上连续,证明:
2
2
[ ()d]⩽(−) ()d
∫∫
例：设()在[,]上连续,且()0.证明:
1
∫ ()d∫ ()d⩾(−)2
泰勒展开+绝对值不等式+两边积分
′
|()|
本方法适用于出现诸如max≤，或者()在[,]连续可导（连续可导可以利
用闭区间连续函数的最值、介值定理）,即告知阶导数的界或要证明界阶导数的界（一般
为二阶）
解题步骤：
1.泰勒展开
2.绝对值不等式
3.两边积分
唯一需要注意的地方是泰勒展开的4种形式的选取，另外不要忘了有关积分中的重要
改写
()
设函数=()在区间上可导，且=0,则有如下改写：
0
()()′
()=−0=()−=∫ ()
0
0
特别的，当=0时，有
0
()()′
()=−0=()−0=∫ ()
0
()[]()
例：设在,上有连续导数,=0,求证:
2
|′|
()⩾2∫ |()|d
⩽⩽
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