数学期望例完整版本.docVIP

例1设随机变量服从参数为的分布，求.

例2已知随机变量的概率分布为

-2

-1

0

2

求.

例3一批产品中有一、二、三等品及废品4种，相应比例分别为60%，20%，10%，及10%.若各等级产品的产值分别为6元，4.8元，4元及0元，求该产品的平均产值.

例4设随机变量取值,对应的概率，证明的期望不存在.

解由于，因此它是概率分布，而且

但由于

可见级数不绝对收敛，因此的数学期望不存在！

例5在一个人数很多的单位中普查某种疾病.个人去验血，用以下两种方法去化验：

（1）每个人的血分别化验，需化验次；

（2）把个人的血混在一起化验；如果结果呈阴性，则这个人只作一次化验即可；如果呈阳性，再对他们逐个化验，这时对这个人共需作次化验；

假定对所有人，化验呈阳性反应的概率为，而这些人的反应是独立的.试说明当较小时，选取适当的，则利用方法（2）可以减少化验次数.

解记每个人的血检结果呈阴性反应的概率为，则个人的混合血呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.用方法（2），设每个人的血需化验的次数为，则是一个随机变量，其概率分布为

则的数学期望为

因此，个人需要的化验次数期望值为，当，即时就能减少化验次数.

例如，当时，取，则，减少约40%的工作量.

当已知，可选定适当的，使达到最小，把个人分为一组即最能节省化验次数.

例6已知二维随机变量的概率分布为

-1

0

1

2

求的数学期望及.

例7设连续型随机变量的概率密度，求.

例8设随机变量的概率密度是，且，求常数与的值.

例9设服从柯西（Cauchy）分布，即其概率密度为

求的期望.

解显然有，因为被积函数为奇函数.

而

故的期望不存在.

例10已知随机变量的概率分布为

求数学期望EMBEDEquation.DSMT4.

例11假定国际市场对我国某种出口商品的年需求量（单位：吨）是一个随机变量，它服从区间上的均匀分布.设该商品每售出一吨，可获得3万美元，但若没有销售出去积压在仓库里，则每吨需支付保养费1万美元.问如何计划年出口量，能使期望获利最多？

解设计划年出口量为吨，年获利额为万美元.显然应有，且

因此

这是一个关于的二次函数，可以求出当时，最大，即计划年出口量3500吨时，能使期望获利最多.

例12设随机变量的数学期望为，求.