专题12 全等三角形的模型及应用(知识点串讲)(原卷版).docxVIP

专题12 全等三角形的模型及应用

知识网络

重难突破

知识点一 全等三角形常见模型

一线三等角

常见图形如下：（含特殊的一线三垂直）

手拉手模型

常见图形如下：（等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）

（2）半角模型

常见图形如下：（正方形、一般四边形）

（1）一线三等角典例1

（2019春?莲湖区期末）如图1，在?ABC中，?BAC?90?，AB?AC，过点A作直线DE，且满足BD?DE

于点D，CE?DE于点E，当B，C在直线DE的同侧时，

求证：DE?BD?CE．

如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图2，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明．

如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图3，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明．

典例2

（2019春?长清区期末）CD是经过?BCA顶点C的一条直线，CA?CB，E、F分别是直线CD上两点，且?BEC??CFA???．

如图（1），若直线CD经过?BCA的内部，且E、F在射线CD上，当?BCA????90?时，线段BE与CF有怎样的大小关系？并说明理由．

如图（2），若直线CD经过?BCA的外部，当?BCA????90?时，则EF、BE、AF三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由．

（2）手拉手全等典例1

如图，等边?ABC中，D是AB边上的一动点，以CD为一边，向上作等边?EDC，连接AE．

求证：?ACE??BCD；

判断AE与BC的位置关系，并说明理由．

典例2

（2019春?金牛区期末）如图．已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．

求证：△ABC≌△ADE；

求∠FAB+∠DAE的度数；

请问线段CE、BF、DE之间有什么数量关系？请说明理由．

典例3

（2019春?天桥区期末）如图1，在?ABC中，AB?AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），以AD为边在AD的右侧作?ADE，使AD?AE，?DAE??BAC，连接CE，设?BAC??，?BCE??．

线段BD、CE的数量关系是 ；并说明理由；

探究：当点D在BC边上移动时，?，?之间有怎样的数量关系？请说明理由；

如图2，若?BAC?90?，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF?DC．

半角模型典例1

（2019春?罗湖区期末）四边形ABCD是正方形（四条边相等，四个角都是直角）．

如图1，将一个直角顶点与A点重合，角的两边分别交BC于E，交CD的延长线于F，试说明BE

＝DF；

如图2，若将（1）中的直角改为45°角，即∠EAF＝45°，E、F分别在边BC、CD上，试说明

EF＝BE+DF；

如图3，改变（2）中的∠EAF的位置（大小不变），使E、F分别在BC、CD的延长线上，若BE

＝15，DF＝2，试求线段EF的长．

知识点二 全等三角形的应用

典例1

（2019春?皇姑区期末）要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使CD?CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图，测出BD?10，ED?5，则AB的长是()

A．2.5 B．10 C．5 D．以上都不对

典例2

（2019春?灵石县期末）某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出BC的长度，如果不能，请你说明理由．

巩固训练

一、单选题（共6小题）

1．（2019春?罗湖区期末）如图，为估计罗湖公园小池塘岸边A、B两点之间的距离，思雅学校小组在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝28m，OB＝20m，则A，B间的距离可能是（ ）

A．8m B．25m C．50m D．60m

2．（2019春?市中区期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至