2025届高考数学精准突破复习新高考改革后深入探讨双切线与同构式.docxVIP

2025届高考数学精准突破复习

新高考改革后深入探讨双切线与同构式

切点弦

近些年无论是高考还是竞赛，双切与同构的题目一直都是考查重点，在这一章中，我们将详细介绍双切线与同构式.

1.圆的切点弦

过圆外一点P(x?,y?),作圆(x?a2+

x??a

若圆心在原点，则切点弦方程为

x?x+y?y=r2

证明：以点P和圆心(a，b)为直径两端的圆的方程为

x?

即

x2?

与圆x?a2+

x?x?ax?ax?+

即

（

证明完毕.

2.椭圆的切点弦

如图13.1所示，过椭圆C:x2a2+

x

证明：设Ax?y?,B

k

可得

Δ=

化简为a2

因为

x12a2+

将②代入①式化简可得

a

即ay

k1=?b

将其代入至直线AP，化简可得

x1

此式即为在A处的切线方程.

同理可得在B处的切线方程为

x2

由于③④两式均经过点P(x?y?),即有

x1

注意到直线AB经过A、B两点，也可表示为⑤式，故AB方程为

x

此为点P对应椭圆C:x

3.双曲线的切点弦

在双曲线C:x

x

此为点P对应双曲线C:x2a

x

椭圆和双曲线的切点弦还可以利用高等数学中的隐函数求导法则求得，但并不在高中学习范围内，所以在此我们并不讨论.

4.抛物线的切点弦

在抛物线的切点弦推导中，由于涉及二次函数的切线问题，同时还涉及阿基米德三角形等相关问题，我们要格外重视推导过程.

如图13.2所示，设过抛物线x2=2pyp0)外一点Px?y?

p

证明设AP:k?x?x?=

y

故

ΛP:

整理可得

x1

同理可得

x22?

由于①②两式均经过P(x?,y?),故满足

x2?2x?x+2py?=0

设x?、x?为上式的两个根，由韦达定理有

x?+x?=2x?③

x?x?=2py?④

因为已知Ax?y?,Bx?

2py=

将③④代入可得

2py=2x?x?2p

即

p

此为点Px?y?对应抛物线

同理可得过抛物线y2=2px(p>0)外一点Px?y?作抛物线的两条切线，切点分别为

【例1】已知椭圆C:x29

证明:设P(x?,y?),满足直线

l:x??y??4=0

得直线AB的方程为

x

即

x?

显然当点P运动时，即x?变化时，直线AB恒过定点为4x+9y=0和y=--1的公共解9

【例2】已知抛物线x2=4y,Q是直线y=x-4上任意一点，过点Q作抛物线的两条切线QA、QB，其中A、B为切点，试证明：AB恒过定点，并求出该定点.

证明:设Q(x?,y?),满足

y?=x??4①

由切点弦方程可得直线AB方程为

x?x=

将①代入②化简为

x?

故AB恒过(2.4)点.

【例3】已知抛物线y=1

解:设点P(x?,y?),则直线AB的方程为

x?x=2

由于AB经过(1,2),代入可得

x?=2

化简可得

x??2y??4=0

即点P的轨迹方程为x一2y-4=0.

【例4】(2013辽宁理)如图13.3所示,已知抛物线C?:x2=4y,C?:x2=?2py(p>0),点Mx?

(1)求p的值.

(2)当点M在C?上运动时,求线段AB的中点N的轨迹方程(点A、B重合于O时,中点为O).

解:由于直线与抛物线为相切关系，判别式等于0,故可得p=2.

(2)设点M(x?,y?),A(x?,y?),B(x?,y?),N(x,y).因为y=x

k?

即

x

整理可得

x

将M点坐标代入可得

x

同理将M点坐标代入直线MB方程可得

x

所以x?、x?为方程x2?2x?x+4y?0的两个根.

由韦达定理可得

x?+x?=2x?,x?x?=4y,

因为N为AB中点,故

x?

即x0=xy0=x0

【感悟】本题并没有用到切点弦相关结论，完全是中规中矩的推导，这也是为什么要强调在关注结论的同时，一定要知道结论是怎么来的.