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2025届高考数学精准突破复习

新试卷背景下排列组合问题的十大应用

本节主要介绍排列组合与二项式定理中的基本问题，新高考目前在该板块主要考察一道小题，同时排列组合问题会和古典概型结合深度考察，但难度整体不大，属于基础题，读者只需掌握常见的排列组合模型与二项式定理的基本性质便可轻松应考.

一．基本原理

考点1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1.分类计数原理定义：

做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有

种不同的方法在第类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有方法数：

2.分步计数原理定义：

做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有方法数：

考点2.排列

1.排列的定义

一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取个元素的一个排列．

2.排列数

（1）排列数定义

（2）排列数公式

（1）全排列

个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时公式中，即有

．

1.组合的定义

一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，也就是说，组合是从个不同的元素中取出个元素，不分次序构成一组.

2.组合数

3.组合数公式

，

，规定：.

4.组合数的性质

（1）性质1：

（2）性质2:

考点4.常见的一些排列问题及其解决方法

直接法

把符合条件的排列数直接列式计算

优先法

优先安排特殊元素或特殊位置

捆绑法

把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列

插空法

对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中

定序问题除法处理

对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

间接法

正难则反，等价转化的方法

4.分组分配问题

4.1（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：

将个不同元素分成组，且每组的元素个数分别为，

记.

（1）非均匀不编号分组：个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为.

（2）均匀不编号分组：将个不同元素分成不编号（即无序）的组，每组元素数目相等，其分法种数为.

（3）部分均匀不编号分组：将个不同元素分成不编号的组，其中有组元素个数相等，其分法种数为，如果再有组均匀分组，应再除以.

4.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．

二．典例分析

★1.排列，组合公式及应用

例1．若，为正整数且，则（????）

A． B．

C． D．

解析：对A：，又，故A错误；

对B：

，故B正确；

对C：，

，即，故C错误；

对D：，

，即，故D正确.故选：BD.

★2.排列组合中的特殊优先原则

例2．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”?“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（????）

A．100个 B．125个 C．225个 D．250个

解析：依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：

最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种，不同“回文数”的个数是个，

最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种，

不同“回文数”的个数是个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.故选：C

例2．为确保马拉松赛事在某市顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站.由含甲?乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务，则甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻的概率为（????）

A． B． C． D．

解析：由题意可知甲队和乙队共有种不同安排方法，

甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻，分以下三种情况，

1、从2个端点饮水点任选一个安排甲，再从与该饮水点不相邻的5个服务站选一个安排乙；

2、从中间5个饮水点任选一个安排甲，再从不与该饮水点相邻的4个服务站选一个安排乙；

3、从6个服务站任选一个安排甲，再从不与该服务站相