2025届高考数学精准突破复习三角函数的图象与性质及三角恒等变换.docx

2025届高考数学精准突破复习

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三角函数的图象与性质及三角恒等变换

eq\o\ac(○,热)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,考)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,解)eq\o\ac(○,读)

常识必背

常识必背

1．任意角的概念

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的分类

按旋转

方向

正角

按逆时针方向旋转而成的角

负角

按顺时针方向旋转而成的角

零角

射线没有旋转

按终边

位置

前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合

象限

角

角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角

其他

角的终边落在坐标轴上

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式

角α的弧度数公式

|α|＝eq\f(l,r)

角度与弧度的换算

1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57°18′

弧长公式

l＝α·r

扇形面积公式

S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)α·r2

3.任意角的三角函数

三角函数

正弦

余弦

正切

定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么

y叫做α的正弦，记作sinα

x叫做α的余弦，记作cosα

eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα

各象限符号

Ⅰ

正

正

正

Ⅱ

正

负

负

Ⅲ

负

负

正

Ⅳ

负

正

负

口诀

一全正，二正弦，三正切，四余弦

4.三角函数线

用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：

sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT．

5．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．

(2)商数关系：tanx＝eq\f(sinx,cosx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).

6．三角函数的诱导公式

组数

一

二

三

四

五

六

角

α＋2kπ

(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sin__α

－sin__α

sin__α

cos__α

cos__α

余弦

cosα

－cos__α

cos__α

－cos__α

sin__α

－sin__α

正切

tanα

tan__α

－tan__α

－tan__α

7．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin__αcos____β±cos__αsin____β；

cos(α?β)＝cos__αcos____β±sin__αsin____β；

tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±β，α，β均不为kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).

8．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝2sin__αcos____α；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，2α均不为kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).

9．三角函数公式的关系

10．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，－1))，(2π，0)．

(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．

11．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义

域

R

R

{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}

值域

[－1，1]

[－1，1]

R

周期

性

2π

2π

π

奇偶

性

奇函数

偶函数

奇函数

单调

递增

区间

[－eq\f(π,2)＋2kπ，

eq\f(π,2)＋2kπ]，