2025届高考数学精准突破复习相等关系与不等关系.docx

2025届高考数学精准突破复习

相等关系与不等关系

一．不等式的性质

【知识梳理】

不等式有如下性质：

性质1如果，那么；如果，那么．即．

性质2如果，，那么．即，．

性质3如果，那么．

性质4如果，，那么；如果，，那么．

性质5如果，，那么．

性质6如果，，那么．

性质7如果，那么（）．

【针对性训练】

1．已知，，，，则下列命题中一定成立的是

A．若，，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

2．已知，，记，，则与的大小关系是

A． B． C． D．

3．若，，且，，则

A． B． C． D．

4．下列说法正确的是

A．“”是“”的充分不必要条件

B．“”是“”的既不充分也不必要条件

C．“”是“”的必要不充分条件

D．“”是“”的充要条件

5．设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是

A． B． C． D．

6．某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金元，得到的利润为元，收益率为，假设在该投资的基础上，此公司再追加投资元，得到的利润也增加了元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则

A． B． C． D．

7．下列命题为真命题的是

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

8．若，，，则下列命题正确的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

9．下列不等式中，恒成立的个数是

①；

②；

③；

④

A．1 B．2 C．3 D．4

10．以下四个命题正确的是

A．“”是“”的充分条件

B．“”是“”的充要条件

C．“”是“”的充要条件

D．设，，且，若，则

二．基本不等式

【知识梳理】

1、一般地，，有，当且仅当时，等号成立．

特别地，如果，，我们用、分别代替上式中的，，可得，当且仅当时，等号成立．我们把它称为基本不等式．其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数．

2、基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

【针对性训练】

11．已知，为非零实数，则下列不等式中恒成立的是

A． B． C． D．

12．若，，则的最小值是

A．3 B．6 C．9 D．12

13．若正数，满足，则的最小值是

A． B． C．5 D．6

14．已知，，且，则的最小值为

A．5 B．6 C．7 D．8

15．已知正数，满足，则可能的取值为

A．1 B．2 C．3 D．4

16．若且，则的最大值是．

17．设，则的最小值为

A． B．7 C．4 D．5

18．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米．若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为；若使用的篱笆总长度为30米，则的最小值为．

19．下列的最小值是4的是

A． B．

C． D．

20．下列命题正确的是

A．已知，则有最大值

B．已知，，，则

C．的最小值是2

D．的最小值为

三．一元二次函数与一元二次不等式

【知识梳理】

1、一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是或，其中，，均为常数，．

2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

（）的图像

（）的根

有两个不相等的实数根（）

有两个相等的实数根（）

没有实数根

（）的解集

R

（）的解集

【针对性训练】

21．若二次函数的图象开口向下，与轴的交点的横坐标分别为，且，则不等式的解集是

A．或 B．

C． D．或

22．不等式的解集为

A． B． C． D．

23．“”是“一元二次不等式恒成立”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

24．设，二次函数的图象可能是

A． B．

C． D．

25．若函数的图像与轴的两个交点是，，则下列结论正确的是

A．

B．方程的两根是，1

C．不等式的解集是

D．不等式的解集是

26．已知的解集为，则下列的取值范围能使不等式成立的为

A． B． C． D．

27．将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是

A．函数的最大值是1

B．函数图象的对称轴是直线

C．在，上随的增大而增大

D．函数图象过点

28．若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为

A．， B．，，

C．， D．，，

29．已知关于的不等式．

（1）当时，解上述不等式；

（2），解上述关于的不等式．

30．二次函数的部分对应值如表：

0

1

2

3

4

6

0

0

6

则不等式的解集是

A．，， B．，，

C． D．

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