重难点01三角恒等变换（五种题型）（原卷版）.docxVIP

重难点01三角恒等变换（五种题型）

技巧方法

技巧方法

一．同角三角函数间的基本关系

【知识点的认识】

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．

（2）商数关系：＝tanα．

2．诱导公式

公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．

公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．

公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．

公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．

公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．

公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα

3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；

（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；

（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；

（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；

（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．

（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．

4．二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；

（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；

（3）T2α：tan2α＝．

【解题方法点拨】

诱导公式记忆口诀：

对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．

二．两角和与差的三角函数

【知识点的认识】

（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；

（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；

（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；

（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；

（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．

（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．

三．二倍角的三角函数

【二倍角的三角函数】

二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．

二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．

二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．

四．半角的三角函数

【半角的三角函数】

半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．

五．三角函数的恒等变换及化简求值

【概述】

三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．

【公式】

①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx

②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx

③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，

④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．

六．三角函数中的恒等变换应用

【知识点的认识】

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．

（2）商数关系：＝tanα．

2．诱导公式

公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．

公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．

公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．

公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．

公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα，tan（﹣α）＝cotα．

公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．

3．两