重难点04 不等式恒成立、能成立问题（六大题型）（解析版）.docxVIP

重难点04不等式恒成立、能成立问题

【题型归纳目录】

题型一：“Δ”法解决恒成立问题

题型二：数形结合法解决恒成立问题

题型三：分离参数法解决恒成立问题

题型四：主参换位法解决恒成立问题

题型五：利用图象解决能成立问题

题型六：转化为函数的最值解决能成立问题

【方法技巧与总结】

在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．

【典型例题】

题型一：“Δ”法解决恒成立问题

例1．已知关于x的不等式对任意恒成立，则k的取值范围是（????）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】当时，不等式可化为，恒成立，

当时，要满足关于x的不等式对任意恒成立，

只需，解得，

综上所述，k的取值范围是．

故选：A

例2．已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（????）

A． B．

C．或 D．

【答案】D

【解析】①若，则恒成立，满足题意；

②，则，

，∴．

综上所述．

故选：D

例3．已知不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C．或 D．

【答案】C

【解析】因为不等式对一切实数恒成立，

所以，解得或．

故选：C．

变式1．已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围为（????）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】A

【解析】由题意得：一元二次方程的两根分别为1，2，

由根与系数的关系，可得，，

则不等式，

即对于任意的恒成立，

等价于，或，

解得：或．

则实数的取值范围为或．

故选：A

变式2．已知函数的图象都在x轴的上方，求实数k的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为的图象都在轴上方，

①当时，或，

当时，函数为一次函数，不满足条件；

当时，函数满足条件；

故；

②当时，函数为二次函数，

则，解得；

综上，，即实数k的取值范围为．

故选：B．

变式3．已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，，满足题意；

当时，则，解得，

综上，的取值范围为．

故选：C．

题型二：数形结合法解决恒成立问题

例4．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】若关于x的不等式在上没有实数解，

则对任意的，恒成立，

记，则，解得，

因此关于x的不等式在上有实数解，则，

故选：A

例5．当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是．

【答案】

【解析】当时，，显然恒成立．

当时，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线，

当时，恒成立，则，解得．

当时，二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，

当时，恒成立，则，显然成立，所以，

故的取值集合是．

故答案为：．

例6．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋40恒成立，求m的取值范围．

【解析】令y＝x2＋mx＋4．

∵当1≤x≤2时，y0恒成立．

∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2．

如图，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋40，,4＋2m＋40，))

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋50，,2m＋80.))

∴m的取值范围是{m|m－5}．

题型三：分离参数法解决恒成立问题

例7．若“，”是假命题，则实数的取值范围是．

【答案】

【解析】因为“，”是假命题，

所以“，”为真命题，

即在上恒成立，

因为对勾函数在上单调递增，则，

所以，即实数的取值范围是．

故答案为：

例8．若时，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是．

【答案】

【解析】由，得，

因为，所以，则恒成立，

令，

则，因为，

所以，当且仅当即时取等号，

所以．

故答案为：

例9．当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是．

【答案】

【解析】关于x的不等式恒成立

即，时恒成立，

，

又，

当且仅当，即时等号成立，

．

故答案为：．

变式4．已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意当时，不等式恒成立，

则恒成立，只需即可；

易知当时，由基本不等式可得，当且仅当时取等号；

所以，即，

所以实数m的取值范围是．

故选：A

变式5．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【解析】不等式恒成立，所以，则，

令，，则，当时，取得最大值，最大值为1，

所以，解得或．

故选：C．

变式6．不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【