重难点02 集合的新定义问题（三大题型）（解析版）.docxVIP

重难点02集合的新定义问题

【题型归纳目录】

题型一：新定义集合的概念

题型二：新定义集合的性质

题型三：新定义集合的运算

【方法技巧与总结】

集合新定义问题的类型：

（1）新定义性质，（2）新定义运算．

解决集合新定义问题的着手点：

（1）正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．

（2）合理利用集合性质：运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键．

（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．

【典型例题】

题型一：新定义集合的概念

例1．（2023·全国·高一专题练习）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为，

故选：D.

例2．（2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习）定义且，若，，则等于（????）

A．A B．B C． D．

【答案】D

【解析】因为，，

所以.

故选：D.

例3．（2023·全国·高一专题练习）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】，则，则中元素的个数为

故选：C

例4．（2023·全国·高一专题练习）定义集合且，已知集合，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为集合且，，

所以

故选：C

例5．（2023·陕西安康·高一校考阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义，若，，则中元素的个数是（????）

A．3 B．4 C．12 D．16

【答案】C

【解析】因为定义，且，，

所以，

中元素的个数是12，

故选：C.

例6．（2023·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）定义差集且，已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，

所以，

所以．

故选：B

例7．（2023·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（????）

A．2 B．6 C．14 D．15

【答案】B

【解析】因为，，，

所以，又集合有3个元素，

当时，即时，满足题意，

当时，即，（舍去）时，，不符合题意，

当时，即时，满足题意，

当时，即，（舍去）时，，不符合题意.

综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为.

故选：B

例8．（2023·江苏常州·高一校考阶段练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（????）

A．32 B．31 C．30 D．29

【答案】B

【解析】集合，，定义，

则，元素个数为5，

故集合的所有真子集的个数为

故选：B

例9．（2023·河北衡水·高一校考阶段练习）定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】集合中阴影部分表示的集合为且

集合中阴影部分元表示的集合为且，

故整个阴影部分表示，

故选：D.

例10．（2023·广东江门·高一校考阶段练习）设A，B是非空集合，定义且，已知，，则（）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【解析】，

所以或.

故选：D

例11．（2023·河南商丘·高一校考阶段练习）定义集合M和N的“差集”为但，记为，若，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为

由“差集”的定义可知：

.

故选：D

例12．（2023·四川资阳·高一四川省资阳中学校考阶段练习）对于集合，，定义且，，设，，则（????）

A． B．

C．或， D．或，

【答案】C

【解析】对于集合，，定义且，，

设，，

则，，

或，．

故选：C．

题型二：新定义集合的性质

例13．（2023·高一单元测试）定义:设A是非空实数集，若，使得，都有，则称a是A的最大（小）值.若B是一个不含零的非空实数集，且是B的最大值，则（）

A．当时，是集合的最小值

B．当时，是集合的最大值

C．当时，是集合的最小值

D．当时，是集合的最大值

【答案】D

【解析】当时，是集合B中最小的正数，但B中还有负数的存在，

所以既不是集合中最大，也不是最小；

当时，集合B中的任意元素，从而，

所以，是集合最大值.

故选：D

例14．（2023·江西赣州·高一校考阶段练习）若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（????）

A．为“权集” B．为“权集”

C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1

【答案】B

【解析】因为与均不属于数集，所以A错误；

因为，，，，，都属