复变函数第五章.pptVIP

*练习1的奇点及其类型.说出函数答案练习2练习3*判别法2:(利用极限特点)如果极限1)存在且为有限值;2)无穷大;3)不存在且不为无穷大;那末是的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.说明：例题：判别孤立奇点的类型解：例题：判别孤立奇点的类型解：例题：判别孤立奇点的类型解：*例11函数在扩充复平面内有些什么类型的有限奇点?如果是极点,指出它的级.解函数除点外,所以这些点都是的一级零点,故这些点中除1,-1,2外,都是的三级极点.内解析.在*所以那末是的可去奇点.因为*判别法3:(作变量代换)1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.解：例题：判别的类型解：例题：判别的类型*例11函数在扩充复平面内判断是什么样的奇点?解不是的孤立奇点.所以*本节小结:一.有限点为孤立奇点时，三种类型的判别方法；*二.无穷远点为孤立奇点时，三种类型的判别方法；*四、小结与思考理解孤立奇点的概念及其分类;掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征;熟悉零点与极点的关系.*思考题*思考题答案放映结束，按Esc退出.**本性奇点3.如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,例如，含有无穷多个z的负幂项特点:在本性奇点的邻域内不存在且不为同时不存在也不为**综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义m极零点的定义*例如m极零点的定义m极零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数,那末称为的m级零点.m极零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数,那末称为的m级零点.例如注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.*2.零点的判定零点的充要条件是证(必要性)由定义:设的泰勒展开式为:如果在解析,那末为的级如果为的级零点*其中展开式的前m项系数都为零,由泰勒级数的系数公式知:并且充分性证明略.*(1)由于知是的一级零点.课堂练习是五级零点,是二级零点.知是的一级零点.解(2)由于答案例1求以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数.求*3.零点与极点的关系定理如果是的m级极点,那末就是的m级零点.反过来也成立.证如果是的m级极点,则有当时,函数在解析且*由于只要令那末的m级零点.就是反之如果的m级零点,是那末当时,解析且所以是的m级极点.说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.例2函数有些什么奇点,如果是极点,指出它的级.解函数的奇点是使的点,这些奇点是是孤立奇点.的一级极点.即*零点与极点的关系*解解析且所以不是二级极点,而是一级极点.例3问是的二级极点吗?注意:不能以函数的表面形式作出结论.*练习解：*解：*解：*总结:判定有限孤立奇点的方法**三、函数在无穷远点的性态1.定义如果函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称点为的孤立奇点.Rxyo说明:(1):*说明:(1):例如:*说明:(2):*令变换规定此变换将:映射为扩充z平面扩充t平面映射为映射为映射为*结论:在去心邻域内对函数的研究在去心邻域内对函数的研究因为在去心邻域内是解析的,所以是的孤立奇点.规定:m级奇点或本性奇点.的可去奇点、m级奇点或本性奇点,如果t=0是是的可去奇点、那末就称点*分析:情况1:*分析:情况2:*分析:情况3:1)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项;那末是的1)可去奇点;2)m级极点;3)本