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极限的求法

1、利用极限的定义求极限

2、直接代入法求极限

3、利用函数的连续性求极限

4、利用单调有界原理求极限

5、利用极限的四则运算性质求极限

6.利用无穷小的性质求极限7、无穷小量分出法求极限8、消去零因子法求极限

9、利用拆项法技巧求极限

10、换元法求极限

11、利用夹逼准则求极限[3]

12、利用中值定理求极限

13、利用罗必塔法则求极限

14、利用定积分求和式的极限

15、利用泰勒展开式求极限

16、分段函数的极限

1、利用极限的定义求极限

用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。

例：limf?x??A的ε-δ 定义是指：?ε＞0，?δ=δ(x，ε)＞0，0＜|x-x|

x?x0 0 0

＜δ ?|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对x

0

的邻域半径适当限制，如然后适当放

大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：

｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ1

域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1

从φ(x)＜δ2，求出δ2后，

取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-x0 |＜δ 时，就有|f(x)-A|＜ε.

例：设limx

?a则有lim

x?x

1 2

?...x

n?a.

n?? n

n?? n

证明：因为limx

?a,对???0，?N

?N(?),当n?N时，?x-a???

于是当

n?? n

1 1 1 n 2

x?x ?...?x

?x?x ?...?x

na?

n?N

时，?1 2

n?a?? 1 2 n

1 n n

0????

其中A??x

1

?a???x

2

?a???x

N1

???是一个定数,再由

A??，

n 2

解得n?2A

,故取N?max?N

,?2A??当n?

x?x?...?x

???? ? ?。

??? ? 1???

?

?

???

N时，1 2 n + =

n 2 2

2、直接代入法求极限

适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为

例1.求 .

分析 由于 ,

所以采用直接代入法.

解 原式=

3、利用函数的连续性求极限

定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果x是函数f(x)的

0

定义区间内的一点，则有limf(x)?f(x)。

x?x0 0

一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x)是初等函数，x是其定

0

义域内一点，则求极限limf(x)时，可把x代入f(x)中计算出函数值，即

x?x 0

0

limf(x)=f(x)。

x?x 0

0

对于连续函数的复合函数有这样的定理：若u??(x)在x连续且u ??(x)，

0 0 0

y?f(u)在u处连续，则复合函数y?f[?(x)]在x处也连续，从而

0 0

limf???x???f???x

x?xo

?例：limlnsinx

?

x?

2

??或limf???x???flim??x?。

o x?xo x?xo

解：复合函数x=?在处是连续的，即有limlnsinx=lnsin?

?ln1?0

?2 2

?

x?

2

4、利用单调有界原理求极限

这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。

例：求lim a a?... a

n??

解：令x

n

? a? a?...? a，则x

n?1

? a?x

n

， a? a? a，即x

n?1

x，所

n

以数列?x?单调递增，由单调有界定理知，lim a a?... a有限，并设为A，

limx

n

?lim a?x

n??

， 即 A= A? , a?1?

1a

A

4 所 以

，n??

，

n?1

n?? n 2

l ia m?a ?1?

? 1a 4

a. .。.

n???2

5、