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第二章极限与连续 基础练习题（作业）

§ 数列的极限

一、观察并写出下列数列的极限：

4 6 8

1．2,

, , L极限为1

3 5 7

2．1,?1,1,?1,1,L极限为0

2 3 4 5

???2n?1 n为奇数

?

?

3．a

?? 2n

极限为1

n ?2n

?1 n为偶数

?? 2n

§ 函数的极限

一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限：

limex

x???

极限为零

limtanx

?

x?

2

无极限

limarctanx

x???

极限为??

2

limlnx

x?0?

无极限，趋于??

? 2x?1,

?

x?1

二、设f(x)??x2?x?3, 1?x?2，问当x?1，x?2时，f(x)的极限是否存在？

?? x2?1, x?2

?

Qlimf(x)?lim(x2?x?3)?3；limf(x)?lim(2x?1)?3

x?1?

x?1?

x?1?

x?1?

Qlimf(x)?lim(x2?1)?3；limf(x)?lim(x2?x?3)?5?3

x?2?

x?2?

x?2?

x?2?

?limf(x)不存在。

x?2

1三、设f?x?? 1

1

1?ex

?limf(x)不存在。

x?0

，求x?0时的左、右极限，并说明x?0时极限是否存在．

四、试讨论下列函数在x?0时极限是否存在．

绝对值函数

f?x??|x|，存在极限为零

取整函数

符号函数

f?x??[x] 不存在

f?x??sgnx 不存在

§ 无穷小量与无穷大量

一、判断对错并说明理由：

1

xsin

是无穷小量．

x

错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小

1 1

量。当x?0时，xsin

?0；当x?1时，xsin ?sin1不是无穷小量。

x x

同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．

对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。

无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．

对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。

二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：

x?2

1．x2?1，

1x??2时，或x??时，为无穷小量；x?1时，或x??1时，为无穷大量。

1

2． , k?Z

lntanx

?? 1

?

x?(k ? )?时，tanx???，则lntanx???，从而 ?0+为无穷小量；

12 lntanx

1

x?k??时，tanx?0?，则lntanx???，从而 ?0?为无穷小量；

lntanx

x?k???时，tanx?1，则lntanx?0，从而 1

??为无穷大量；

3x4 lntan

3x

x三、当x?0?时，x2，

x

和 都是无穷小量，它们是否为同阶无穷小量，如果不是它们之间最高阶

和最低阶的无穷小量分别是谁？

xxx2 xQlim ?lim ?0，所以当x?0?时，x2

x

x

x2 x

x的高阶无穷小量。

x

x?0?

x?0??1

3xx(3x)23xx2Qlim ?lim ?0，所以当x?

3x

x(3x)2

3x

x2

的高阶无穷小量。

x?0?

x?0??1

x3

x

3x

?lim ?0，所以当x?0?时，

是 的高阶无穷小量。

6xx3x3xx3x

6x

x

3x

3x

x

3x

x?0? 1

x通过比较可知，当x?0?时，x2，

x

和 不是同阶无穷小量，其中x2是 和

的高阶无穷小

x量，因此x2是三者中最高阶的无穷小量。x2和 都是

x

3x

3x

3x

3x

的无穷小量。

四、利用无穷小量与极限的关系证明：lim

f(x)g(x)?limf(x)limg(x)．

x?x

0

x?x

0

x?x

0

证明：设lim

x?x

0

f(x)?A，