第2讲-半群和群的定义和性质.pptVIP

**作业P2022,3,4,5,6**主要内容半群独异点群**群(Group)定义10.1：G,*是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，如果(1)运算*是封闭的(2)运算*是可结合的(半群)(3)存在单位元e(独异点)(4)对于每一个元素x?G，存在着它的逆元x-1则称G,*是一个群.**例10.1Sk={x|x∈Z∧x≥k}，Sk,+(k0)？S0,+？不是群不是群Z,+是群**例10.2Σ={a,b}，Σ+为所有由a,b组成的字符串,“?”为字符串的连接运算.空串?Σ*=Σ+?{?}Σ*,?思考：独异点Σ*,?是否做成群？**例10.3幂集P(B),?？P(B),?？P(B),?？单位元和逆元?**例10.4(1-2)(1)Z,+整数加群(2)Zn,+n模n整数加群思考:Zn,?n是不是群?**例10.4(3-6)(3)Mn(R),+n阶实矩阵加群(4)Mn(R),?n阶实可逆矩阵乘法群；(5)所有行列式为1的n阶实可逆矩阵关于矩阵乘法；(6)集合A={1,2,3}上所有的双射函数构成集合S3,则关于映射的复合作成群.**例10.5Klein四元群G,*,其中G={e,a,b,c}*eabceeabcaaecbbbceaccbae**例10.5(2)Klein四元群G,?,其中G={e,a,b,c}e=(0,0)a=(0,1)b=(1,0)c=(1,1)运算?为逐分量模2加法,**群的相关术语平凡群只含单位元的群{e}有限群与无限群群G的阶G的基数，通常有限群记为|G|交换群或阿贝尔（Abel）群**例10.6（交换群）(1)Z,+无限群;(2)Z6,+6模6整数加群，阶为6(3)Z4,+4模4整数加群，阶为4(4)Klein四元群G={e,a,b,c}，阶为4(5)P(B),?群，阶为|P(B)|**元素的幂运算定义设S,*是一个半群，?x?S,n?Z+,定义的x的n次幂xn为:推广到独异点**元素的幂运算（推广到群）定义10.3设G,*是一个群，?x?G,n?Z,定义的x的n次幂xn为:**元素的阶定义10.4设G是群，a?G，元素a的阶|a|：使得ak=e成立的最小正整数k。记作|a|=k,也称a为k阶元。与群的阶比较有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因子！！！）；元素都是有限阶的群不一定是有限群.**例10.6（元素的阶）(1)Z,+无限群，|0|=1(2)Z6,+6模6整数加群，元素的阶(3)Z4,+4模4整数加群，元素的阶(4)Klein四元群G={e,a,b,c}(5)P(B),?群中元素的阶**幂运算的性质定理10.1幂运算规则(a-1)-1=a(ab)-1=b-1a-1anam=an+m(an)m=anm若G为Abel群，则(ab)n=anbn说明：等式1和2证明用到逆元定义和唯一性等式3和4的证明使用归纳法并加以讨论等式2可以推广到有限个元素之积.**群的性质（消去律）定理10.2：设G,*是一个群，对于任意的a,b,c∈G，如果有a*b=a*c或者b*a=c*a，则必有b=c(消去律)。**群的等价定义定义:满足(1),(2)及消去律且不含零元的有限代数系统是群，即满足消去律且不含零元的有限半群做成群。(1).运算*是封闭的(2).运算*是可结合的aG={ag|g∈G}=G**群中元素的性质定理10.3G为群，a∈G,且|a|=r,则(1)ak=e?r|k(2)|a|=|a-1|证(1)充分性.ak=arl=(ar)l=el=e必要性.k=rl+i,l∈Z,i∈{0,1,…,r-1}?e=ak=arl+i=ai?i=0?r|k(2)(a-1)r=e?|a-1|存在,令|a-1|=t,则t|r.同理r|t.**元素阶的性质1性质1：有限群中元素的阶小于等于群的阶。G为群，a∈G，且|a|=r，则若|G|=n,则r≤n.证：假设rn,令G’={e,a,a2,…,ar-1},则G’中元素两两不同