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圆锥曲线的综合问题（一）

必威体育精装版考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.

错误! 知识点睛

直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，

??Ax＋By＋C＝0，

?即??F（x，y）＝0

?

消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；

Δ＜0?直线与圆锥曲线C相离.

当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x，y)，B(x，y)，则

|AB|＝ 1＋k2|x－x|

1 1 2 2

1 2

1＋k

1＋k2·

（x＋x）2－4xx

1 2 12

1

＝ 1＋

|y－y|＝

1

1＋ · （y＋y）2－4yy.

k2 1 2 k2 1 2 12

例题精讲（考点分析）

考点一 直线与圆锥曲线的位置关系

x2 y2

【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，

0)，且点P(0，1)在C上.

1

1 a2 b2 1

求椭圆C

1

的方程；

设直线l同时与椭圆C

1

和抛物线C：y2＝4x相切，求直线l的方程.

2

解 (1)椭圆C

1

的左焦点为F(－1，0)，∴c＝1，

1

又点P(0，1)在曲线C上，

1

0 1

∴ ＋ ＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，

a2 b2

x2

所以椭圆C

1

的方程为2＋y2＝1.

(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，

??x2

?

2＋y2＝1，

由?

??y＝kx＋m

消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

因为直线l与椭圆C

1

相切，

所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.

1

整理得2k2－m2＋1＝0.①

??y2＝4x，

由? 消去y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.

??y＝kx＋m

因为直线l与抛物线C

2

相切，

所以Δ＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②

2

?? 2 ?? 2

k＝2， k＝－2，

综合①②，解得?

??m＝ 2

或?

??m＝－ 2.

所以直线l的方程为y＝ 2x＋ 2或y＝－ 2x－ 2.

2 2

规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.

【训练1】在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.

求轨迹C的方程；

设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k

的取值范围.

解 (1)设点M(x，y)，依题意|MF|＝|x|＋1，

∴ （x－1）2＋y2＝|x|＋1，化简得y2＝2(|x|＋x)，

??4x（x≥0），

故轨迹C的方程为y2＝? x

??0（＜0）.

(2)在点M的轨迹C中，记C：y2＝4x(x≥0)；C：y＝0(x＜0).

1 2

依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).

??y－1＝k（x＋2），由方程组?

??y2＝4x，

可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①

k y y

C x 1

①当 ＝0时，此时＝1.把 ＝1代入轨迹

的方程，得＝.

4

l y C

??1，1??.

故此时直线

：＝1与轨迹

恰好有一个公共点?4 ?

②当k≠0时，方程①的Δ＝－16(2k2＋k－1)＝－16(2k－1)(k＋1)，②

设直线l与x轴的交点为(x，0)，则

0

y kx

y x 2k＋1

由 －1＝(＋2)，令

＝0，得 ＝－ .③

??Δ＜0，

0 k

k