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圆 锥 曲 线 的 离 心 率 问 题

离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数a,c之间的联系。

一、基础知识：

1、离心率公式：

e?c

a

（其中c

为圆锥曲线的半焦距）

（1）椭圆：e??0,1?

（2）双曲线：e??1,+??

2、圆锥曲线中a,b,c的几何性质及联系

（1）椭圆：a2?b2?c2，

①2a：长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF

1

PF

2

?2a

②2b：短轴长

③2c:椭圆的焦距

（2）双曲线：c2?b2?a2

①2a：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：PF

1

②2b：虚轴长

③2c:椭圆的焦距

PF

2

?2a

3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：

利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从而可求解

利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c进

行表示，再利用条件列出等式求解

2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有

要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值

域即可

通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率

注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：e??0,1?，双曲线：e??1,+??

二、典型例题：

例1：设

F,F

分别是椭圆C:

x2?

y2?1?a?b?0?

的左、右焦点，点P

在椭圆C

上，线段

1 2 a2 b2

PF的中点在y轴上，若?PFF ?30，则椭圆的离心率为（）

1 1 2

331 1

3

3

A． B． C． D．

3 6 3 6

思路：本题存在焦点三角形 PFF，由线段PF的中点在y轴

1 2 1

上，O为FF

中点可得PF∥y轴，从而PF

? FF，又因为?PFF

?30，则直角

1 2 2

PF:PF :F

PF:PF :FF ?2:1:

1 2

1 2

3，且2a?PF ?PF,2c?FF

1 2

12

，所

2 1 2 1 2

1 2

c?2c

c?2c?

a 2a

FF

PF ?PF

1 2

?

3

3

1

2

答案：A

答案：A

小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O为FF中点是一个隐含条件，如果图中存在

1 2

其它中点，则有可能与O搭配形成三角形的中位线。

例2：椭圆

x2?y2

?1?0?b?2 3?

与渐近线为

x?2y?0

的双曲线有相同的焦点

12 b2

F,F,P为它们的一个公共点,且?FPF ?90,则椭圆的离心率为

1 2 1 2

思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设FF

?2c，在双曲线中，

1 2

5b 1? ?a:b:c?2:1:

5

b 1

，不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：

a 2

3PF?PF?4

3

，由双曲线定义可得： PF

PF

?2a?

4c，因为?FPF

?90，

1

?PF

1

2

2?PF2

2

?4c2而PF2

1

PF2=

2

1

?PF

1

2

PF

2

5?2??PF

5

1

2

1 2

PF?2

2

3016c2 c

30

10代入可得：48?

10

?8c2?c?

5

?e? ?

a 6

30答案：

30

6

小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的

桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。

例3：如图所示，已知双曲线

x2?

a2

y2?1?a?b?0?

b2

的右焦点为F

，过F

的直线l

交双曲线

的渐近线