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精品文档 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图 例如：如图 7-1：已知 AC＝BD，AD⊥AC 于 A ，BC⊥BD 于 B， 求证：AD＝BC EABO分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案：△ ADC 与△ BCD，△AOD 与△BOC，△ABD 与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等， E A B O 证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E 点， ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 ??E ? ?E(公共角) ?∵ ??DBE ? ?CAE(已证) ? ??BD ? AC(已知) ?  D C 图7 ? 1 ∴△DBE≌△CAE （AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图 例如：如图 9-1：在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD 的延长于 E 。求证：BD＝2CE AED12分析：要证 A E D 1 2 精品文档  B C 图9 ? 1 精品文档 CE 与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE 交于点F。 ∵BE⊥CF （已知） ∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， ??1 ? ?2(已知) ?∵ ?BE ? BE(公共边) ? ???BEF ? ?BEC(已证) ? ∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE= 1 CF （全等三角形对应边相等） 2 ∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 ??BAC ? ?CAF (已证) ???BDA ? ?BFC(已证) ? ??AB＝AC(已知) ? ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图 11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 例如：如图 11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 分析：由 AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取 AD 的中点N，连接 NB，NC，再由 SAS 公理有△ ABN≌△DCN，故 BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。 证明：取AD，BC 的中点 N、M，连接NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM，在△ABN 和△DCN ? AN ? DN (辅助线的作法) ?中 ∵ ??A ? ?D(已知) ? ?? AB ? DC(已知) ? 精品文档 A N D B M C 图11 ? 1 精品文档 ∴△ABN≌△DCN （SAS） ∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等） 在△NBM 与△NCM 中 ?NB＝NC(已证) ?∵ ?BM＝CM (辅助线的作法) ? ??NM＝NM (公共边) ? ∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠ NBC＋∠ ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。 巧求三角形中线段的比值 例1. 如图1，在△ABC 中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，AF：FC。 例1. 如图1，在△ABC 中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3， AF：FC。 求 解：过点 D 作 DG//AC，交 BF 于点 G 所以 DG：FC＝BD：BC 因为 BD：DC＝1：3 所以 BD：BC＝1：4 即 DG：FC＝1：4，FC＝4DG 因为 DG：AF＝DE：AE 又因为 AE：ED＝2：3 所以 DG：AF＝3：2 即 所以 AF：FC＝ ：4DG＝1：6 例 例 2. 如图 2，BC＝CD，AF＝FC，求 EF：FD 解：过点 C 作 CG//DE 交 AB 于点 G，则有 EF：GC＝AF：AC 因为 AF＝FC 所以 AF：AC＝1：2 即 EF：GC＝1：2， 因为 CG：DE＝BC：BD 又因为 BC＝CD 小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再