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多分层合板后屈曲性态的非线性有限元分析 1 计算方法的建立 根据大量试验和分析，环保板结构提前失效的存在显著降低了压缩刚性，导致结构提前失稳。因此,研究含分层损伤层合板的屈曲/后屈曲性态,对复合材料飞机结构的设计、评价和应用有着重要的意义。近十年来,含单个分层层合板的压屈载荷和后屈曲路径的研究已取得了很多成果,含多个分层损伤梁/板的屈曲分析也已受到越来越广泛的关注。目前在求解多分层板的后屈曲问题中,同时考虑接触效应的研究仍然是一个热点和难点。 本文采用参考面单元模型,引入虚拟杆单元以避免子层间不合理的位移嵌入,建立了含分层损伤层合板后屈曲分析的计算模型。非线性屈曲方程采用Updat-Lagrange表示法和增量/Newton-Raphson迭代的修正弧长法求解。本文着重讨论了多种因素对含多个分层层合板的后屈曲性态的影响,得到了一些对工程设计有意义的结论。 2 层合板屈曲变形 (1) 材料为纤维增强层合复合材料,其本构关系满足广义虎克定律;(2) 层合板的屈曲变形满足Mindllin 假定,即一阶剪切变形理论;(3) 已知分层损伤的大小和位置而不考虑加载过程中分层扩展;(4)层合板屈曲时考虑子层间法向接触力但忽略子层间的摩擦效应。 3 层压结构的计算模型 3.1 厚度方向上的位移 通常板/壳单元的节点取在其中面上(称为原单元,用上标“0”表示),因而不能在厚度方向上与其他单元直接相联。而按照板/壳变形的Mindllin 假定,中面法线上任意一点均具有表示其余各点位移的能力,都可以作为节点,将具有这种节点的单元定义为参考面单元见图1。采用参考面单元可以在厚度方向上与另一单元相连,而且只需要有一个点就可将厚度方向上的各个单元联接起来。参考面选取的任意性为分层前沿满足位移协调条件提供了方便。 设板/壳参考面单元上某节点i的位移可用原单元上相应节点的位移来表示,即 dq0i=Thidqi(1) 其中 dq0i={du0idv0idw0idθ0xidθ0yi}T dqi={duidvidwidθxidθyi}T 式中 dq0ii0和dqi分别为该单元节点i定义在中面和参考面上的位移向量;Thi是该节点位移由参考面到其自身中面的转换矩阵;du0i,dv0i,dw0i,dθ0xi,dθ0yi和dui,dvi,dwi,dθxi,dθyi分别是该节点定义在中面和参考面上沿x,y和z方向位移增量和关于x,y轴的转角,hi为过i点在厚度方向上中面到参考面的距离。 设一个具有n个节点的板/壳单元,则单元位移的转换矩阵为 dq0=Thdq(2) 其中 dq0={dq01dq02… dq0n}T dq={dq1dq2… dqn}T Th=???????????Th100000Th200000?00000?00000Thn???????????Τh=[Τh100000Τh200000?00000?00000Τhn] 3.2 节点法外部嵌入 为了避免含分层层合板在发生屈曲时子层间出现不合理的嵌入现象,使分层区各子层的单元划分完全一致,并在相邻上、下子层的节点对之间假想地加入一种杆单元。由于忽略子层间接触界面上的摩擦和滑动,该单元只有法向刚度而没有长度,称为虚拟杆单元。对于第i个节点对,其上下子层法向位移wu,wd可能有下面三种接触状态: (1)wui-wdi0 无接触、无嵌入,无需加虚拟杆单元; (2)wui-wdi=0 有接触、无嵌入,无需加虚拟杆单元; (3)wui-wdi0 有接触、有嵌入,需要加虚拟杆单元。 后屈曲分析过程如下:首先在加载前对所有节点对间虚拟杆单元的刚度赋零。然后,施加第一个增量载荷并求解增量平衡方程,得到各子层节点上的位移。接着用上述准则判断,如果某一节点对位移属于第(1)、(2)种类型,则继续下一增量步的计算;如果属于第(3)种类型,说明发生了嵌入则修改该节点对间的虚拟杆单元刚度为 [K]e=k[1?1?11](3)[Κ]e=k[1-1-11](3) 其中k为接触刚度系数。根据大量数值试验,k值取为相应节点法向刚度的102～103倍。在修改虚拟杆单元的刚度系数后,再求节点位移、再判断、再修改。通常经过2～3次迭代,即可避免两子层间的嵌入现象,即在第一个载荷步上达到了平衡。继续施加第二个增量载荷,依此类推,直到全部载荷施加完毕。 4 基本方程和解算方法 4.1 非线性增量平衡方程 线性屈曲也称为分支型屈曲,其屈曲载荷由线性广义特征值方程(4)来确定: (K0+λKσ)q=0 (4) 式中K0为结构的线性刚度矩阵;Kσ为结构的几何刚度矩阵;λ为载荷比例因子(特征值);q为特征向量。 线性屈曲理论仅适用于无缺陷的理想结构。而制造缺陷、材料的各向异性、外载荷等因素都会引起结构的偏心使线性特征值方程不成立。实际层合板的变形往往由非