选修11 333导数的实际应用.docxVIP

选修 1-1 3.3.3 导数的实际应用 一、选择题 如果圆柱轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( ) l A．(6)3π l C．(4)3π [答案] A l 3B．( )3π 3 4 41 4 4 D. ( )3π [解析] 设圆柱的底面半径为 r，高为 h， 体积为 V，则 4r＋2h＝l， l－4r l l ∴h＝ 2 ，V＝πr2h＝2πr2－2πr3(0r4)． l 则 V′＝lπr－6πr2，令 V′＝0，得 r＝0 或 r＝6，而 r0， l ∴r＝6是其唯一的极值点． l l 当 r＝6时，V 取得最大值，最大值为(6)3π. 若一球的半径为 r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( ) 2πr2 C．4πr [答案] A πr2 1 D.2πr2 [解析] 设内接圆柱的高为 h，底面半径为 x，则由组合体的知识得 h2＋(2x)2＝(2r)2，又圆柱的侧面积 S＝2πx·h， ∴S2＝16π2(r2x2－x4)，(S2)′＝16π2(2r2x－4x3)，由(S2)′＝0，得 x＝ ＝2πr2，故选A. 2 2 r(x＝0 舍去)，∴S  max 设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( ) 3 V 3 V 3 C. 4V [答案] C 3 B. 2V D．23 V [解析] 设底面边长为 x，侧棱长为 l，则 1 4V V＝ x2·sin60°·l，∴l＝ ， 2 3x2 ∴S 表＝2S 底＋3S 侧 ＝x2·sin60°＋3·x·l 3 4 3V ＝ 2 x2＋ x ， S′ ＝ 4 3V＝0， 3表 － x2 3 ∴x3＝4V，即 x＝3 4V. ( 4又当 x∈(0，3 4V)时 y′0，x∈ 3 V，V)时，y′0，∴当 x＝ 3 4V时，表面积最小． 4．某公司生产一种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 ( 4 ??－ x3 ＋400x，0≤x≤390， 元，若总收入 R 与年产量 x 的关系式 R(x)＝? 900 则当总利润最大 时，每年生产产品的单位数是( ) ??90090 x390， A．150 C．250 [答案] D B．200 D．300 [解析] ∵总利润 P(x)＝ ??－ x3  ＋300x－20000，0≤x≤390， ? 900 由 P′(x)＝0，得 x＝300，故选D. ??90090－100x－20000，x390， 函数 y＝(x－1)4 的单调递增区间为( ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－1,1) [答案] B D．(4，＋∞) [解析] ∵y′＝4(x－1)3，令 y′0 得 x1， ∴函数 y＝(x－1)4 的单调递增区间为(1，＋∞)， 故选B. 函数 y＝x3－3ax＋6 的单调递减区间是( ) A．(－ a， a) C．( a，＋∞) [答案] A B．(－∞，－ a) D．以上都不对 [解析] ∵y′＝3x2－3a＝3(x2－a) 当 a≤0 时 y′≥0 恒成立， ∴函数 y＝x3－3ax＋6 在(－∞，＋∞)上是增函数， 当 a0 时，令 x2－a0 得 x a 或 x－ a， ∴函数 y＝x3－3ax＋6 在(－∞，－ a)和( a，＋∞)上是增函数， 令 x2－a0 得－ ax a， ∴函数 y＝x3－3ax＋6 在(－ a， a)上是减函数，故应选A. 7．(2008·广东)设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R 有大于零的极值点，则( ) A．a－1 B．a－1 C．a 1 D．a 1 －e －e [答案] A [解析] ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a 当 a≥0 时，y 不可能有极值点，故 a0 由 ex＋a＝0 得 ex＝－a，∴x＝ln(－a)， ∴x＝ln(－a)即为函数的极值点， ∴ln(－a)0，即ln(－a)ln1.∴a－1. 把长为 12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( ) 3 3 A. 2 cm2 C．3 2cm2 [答案] D B．4 cm2 D．2 3cm2 [解析] 设一个三角形的边长为 xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形 3 3 3 的面积和为 S＝ 4 x2＋ 4 (4－x)2＝ 2 x2－2 3x＋4 3. 令 S′＝ 3x－2 3＝0 则 x＝2，所以 S＝2 3. S min 二、填空题 有一条长为 16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为 m2. [答案] 16 [解析] 设矩形场地的长为 xm， 16－2x 则宽为 2 ＝(8－x)m， 其面积 S＝x(8－x)＝8