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解析几何基础知识 平行与垂直 若直线 l 和 l 有斜截式方程 l ：y＝k x＋b ，l ：y＝k x＋b ，则： 1 2 1 1 1 2 2 2 直线 l ∥l 的充要条件是： k ＝k 且 b ≠b 1 2 1 2 1 2 直线 l ⊥l 的充要条件是：k ·k ＝－1 1 2 1 2 三种距离 ? ? ? ?两点间的距离平面上的两点 P (x ，y )，P (x ，y )间的距离公式|P P |＝ x －x 2＋ y ? ? ? ? 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 点(0,0)与任意一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2. 点到直线的距离：点 P (x ，y )到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d |Ax ＋By ＋C| 0 0 两条平行线的距离 两条平行线 Ax＋By＋C 0 0 0 ＝0 与 Ax＋By＋C ＝ |C －C | ＝0 间的距离 d＝ 1 2 A2＋B2 1 2 3、圆的方程的两种形式 ①．圆的标准方程 A2＋B2 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为(a，b)，半径为 r 的圆． ②．圆的一般方程 对于方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 2 2 ? D E? 1 2 2 当 D ＋E －4F＞0 时，表示圆心为③?－ 2 ，－2?，半径为2 D ＋E －4F的圆； 2 2 ? D E? 当 D ＋E －4F＝0 时，表示一个点?－ 2 ，－2?； 当 D2＋E2－4F＜0 时，它不表示任何图形． 4、直线与圆的位置关系 ①．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交． 判断直线与圆的位置关系常见的有： 几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 d＜r?相交；d＝r?相切；d＞r?相离 ②．直线与圆相交 ?2?直线与圆相交时，若 l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有 r2＝d2＋? l ?2，即 l＝2 r2－d ?2? 已知弦长求解问题，一般用此公式． 5、两圆位置关系的判断 两圆(x－a )2＋(y－b )2＝r2(r＞0)，(x－a )2＋(y－b )2＝r2(r ＞0)的圆心距为 d，则 1 1 1 2 2 2 2 1．d＞r ＋r ?两圆外离；2．d＝r ＋r ?两圆外切； 1 2 1 2 3．|r －r |＜d＜r ＋r (r ≠r )?两圆相交_；4．d＝|r －r |(r ≠r )?两圆内切； 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5．0≤d＜|r －r |(r ≠r )?两圆内含 1 2 1 2 1 / 4 PAGE PAGE 2 / 4 6.椭圆 一、椭圆的定义和方程 椭圆的定义 平面内到两定点 F 、F 的距离的和等于常数 2a (大于|F F |=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做 1 2 1 2 椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点. 定义中特别要注意条件 2a＞2c，否则轨迹不是椭圆；当 2a＝2c 时，动点的轨迹是线段；当 2a＜2c 时， 动点的轨迹不存在。 椭圆的方程 焦点在 x x2 y2 1(a＞b＞0)． 轴上的椭圆的标准方程：a2＋b2＝ y2 x2 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程： ＋ ＝1(a＞b＞0)． a2 b2 二、椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2) 标准方程 x2 y2 a2＋b2＝1(a＞b＞0) y2 x2 a2＋b2＝1(a＞b＞0) 图 形 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b 性 －b≤x≤b －a≤y≤a 质 对称性 对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点 顶点 B A (－a,0)，A 1 (a,0) A 2 (0，－a)，A 1 (0，a) 2 (0，－b)，B 1 (0，b) B 2 (－b,0)，B 1 (b,0) 2 轴长轴 A A 轴 1 2 短轴 B B 1 2 性 的长为 2a 的长为 2b 质 焦距 离心率 |F F 1 2 e c |＝2c (0,1) a，b，c 的关系 ＝a∈ c2＝a2－b2 双曲选 一、双曲线的定义 平面内与两个定点 F 、F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F F |且不等于零)的点的轨迹叫做双曲 1 2 1 2 线．两个定点 F 、F 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F F |叫做双曲线的焦距. 1 2 1 2 二、双曲线的标准方程和几何性质 a2 2b标准方程 x2－y2＝1(a＞0， a2 2b y2 x2 a2－b2＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 性 质 对称性 ④x≥a 或 x≤－a ⑤_ y≥a 或 y≤－a 对称轴：x 轴、y 轴 对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点 对称中心：坐标原点 顶点 顶点坐标：A