高三数学第一轮复习抛物线定义、性质及.docxVIP

【本讲主要内容】 高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程 抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】 【知识点精析】 抛物线定义： 平面内与一个定点 和一条直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线，定点 不在定直 线 上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率 e）不同，当 e＝1时为抛物线，当0e1时为椭圆，当 e1时为双曲线。 抛物线的标准方程有四种形式，参数 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）： 其中 为抛物线上任一点。 对于抛物线 抛物线的焦点弦：设过抛物线 上的点的坐标可设为 的焦点 ，以简化运算。 的直线与抛物线交于 ，直线 与 的斜率分 别为 ，直线 的倾斜角为 ，则有 ， ， ， ， ， ， 。 说明： 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 【解题方法指导】 例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为解析：设所求抛物线的方程为 或 轴，且与圆 相交的公共弦长等于 ，求此抛物线的方程。 设交点 （y10） 1 / 7 囚＋囚 ＝ 2石 凶＝＆ 则 ，∴ x勹尸＝ 4 X ＝土1 ，代入 得 (1 ，石） 厄 勹 （－1 ，石） 沪＝－2p x ∴点 在 上， 在 上 3-2＝ 3-2 ＝ p ∴ 或 ，∴ 沪＝ 3 x 沪＝－3x 故所求抛物线方程为 或 。 FF例2. 设抛物线沪 ＝ 2p x(p 0) 的焦点为 ，经过 的直线交抛物线于 AB F F  c两点，点 在抛物线的准线上，且 BC c  ∥ X 轴，证明直线 AC 经过原点。 解析：证法一：由题意知抛物线的焦点 气，o) 冈F 冈 故可设过焦点 的直线jx,=my+f 的方程为 p x = my +－ 2 沪＝ 2p x 由 沪－ 叩－沪＝ x 2p x 2p 0 A ( x1,Y1)、 B ( X2, Y2) Y沪？2 =-p 3 p- p-2 ＿ x c（ 主∵ BC ∥ X c （ 主 cY 2) c ∴ 点坐标为 y-yl= X-X1 于是直线 AC 的方程为 Y2 - Y1 -_E—._ 2 - X1 要证明 AC 经过原点，只需证明 0- Y1 0- X1 Y2 - Y1 ＝ -—p - X1 - X1  ，即证 —p Y1=－丙沁 2 y/3 y/ 注意到 必＝－ 2 p-2＿x p-2 ＿ x c = 2p xl y p AC 巳证 法 二 ： 同 上 得 。 又 ∵ BC ∥ 巳 k =Y2 2p k = 实 —=—=—=k湿 _2 Y1 芍  X 轴 ， 且 在 准 线 上 ， ∴ (-：，Y 2) c点 坐 标 为 c  o 于 是 2 ，知A 0 、 C 三点共线，从而直线 AC 经过原点。 yD证法三：如图， y D cX c 设 轴与抛物线准线 交于点 ，过 作 则 ∥ ∥ ，连结 交 于点 ， 是垂足 ，则 又根据抛物线的几何性质， ∴ 因此点 是 的中点，即 与原点 重合，∴直线 经过原点 。 评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。 【考点突破】 【考点指要】 抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。 考查通常分为四个层次： 层次一：考查抛物线定义的应用； 层次二：考查抛物线标准方程的求法； 层次三：考查抛物线的几何性质的应用； 层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。 解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。 【典型例题分析】 例3. （2006江西）设 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为抛物线上一点，若 ，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 答案：Ｂ 解析：解法一：设点 坐标为 ，则 ， 解得 或 （舍），代入抛物线可得点 的坐标为 。 解法二：由题意设 ，则 ， 即 ， ，求得 ，∴点 的坐标为 。评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。 例4. （2006安徽）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为（ ） A. －2 B. 2 C. －4 Ｄ. 4 答案：D 解析：椭