高考数学二项式定理专题复习版本.docxVIP

精品文档 精品文档 精品文档 精品文档 二项式定理 二项式定理：(a ? b)n ? C 0 anb0 ? C1an?1b1 ? ??? ? Cn?1a1bn?1 ? Cna0bn (n ? N*) . n n n n 二项式定理的说明： （1）(a ? b)n 的二项展开式是严格按照 a 的降次幂（指数从n 逐项减到0 ）、b 的升次幂（数从0 逐项减到n ）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a、b 的指数之和等于n 。所以(a ? b)n 与(b ? a)n 的二项展开式是不同的。 二项式项数共有(n ?1) 项，是关于a 与b 的齐次多项式。 二项式系数：展开式中各项的系数为Cr ?1 ， r ? 1,2,3,..., n ?1. n r二项式通项：展开式中的第 r 项记作 T ， T r r (n ?1) 项。 ? Cr ?1an ?1? rbr ?（1 n r ? 1,2,3,..., n ? 1），共有 正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是C 0 , C1 , C 2 , ??? , Cr , ??? , Cn . 项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 n n n n n 如：（a ? b）n ? C 0 an n ? C1 an?（1 n - b）1 ? C 2 an?（2 n - b）2 ? ? ? ? ? C r a（r n b）r ? ? ? ? ? C（n n b）n 的 第 2 项的二次项系数为C1 ，而第 2 项的系数为? C1 . n n 常见二项式： 令 a ? 1,b ? x, (1 ? x)n  ? C 0 x0 ? C1 x1 ? ??? ? Cn?1 xn?1 ? Cn xn (n ? N*) ； n n n n 令 a ? 1,b ? ?x, (1 ? x)n ? C 0 x0 ? C1 x1 ? C 2 x2 ? ??? ? (?1)n Cn xn (n ? N*) . n n n n 二项式系数的性质： 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等： 即C 0 ? Cn , C1 ? Cn?1 ,???, Ck ? Cn?k . n n n n n n 二项式系数和：令a ? b ? 1，则二项式系数的和为： C 0 ? C1 ? ??? ? Cn?1 ? Cn ? 2n ，变形有： C1 ? C 2 ? C 3 ? ??? ? Cn ? 2n ?1 . n n n n n n n n （3） C 0 ? C 2 ? C 4 ? ???? ? C1 ? C 3 ? C 5 ? ???? ? 2n?1 ； n n n n n n 求奇数项的系数和与偶数项的系数和： 已知(a ? x)2n ? a ? a x ? a 0 1 2 x 2 ? a 3 x3... ? a 2n x2n ，则 奇数项的系数和： a ? a ? a ... ? a = ； 0 2 4 2 n 偶数项的系数和： a 1 a ? a 3 5 ... ? a  2n ?1 = ； (a ? x)n ? C 0 an x0 C1an?1 x ? C 2 an?2 x2 ?L ? Cna0 xn ? a a x1 ? a x2 ?L ? a xn n n n n 0 1 2 n ( x ? a)n ? C 0 a0 xn C1axn?1 ? C 2 a2 xn ?2 ?L ? Cnan x0 ? a xn ?L ? a x2 ? a x1 ? a n n n n n 2 1 0 令x ? 1, 则a 0 a ? a 1 2 a L ? a 3 n ? (a ? 1)n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 令x ? ?1,则a 0 a ? a 1 2 a ?L ? a 3 n ? (a ?1)n ? ? ? ? ? ? ? ?② ① ? ②得, a 0 a ? a 2 4 L ? a n ? (a ? 1)n ? (a ?1)n 2 (奇数项的系数和) ① ? ②得, a ? a 1 3 a L ? a 5 n ? (a ? 1)n ? (a ?1)n 2 (偶数项的系数和) 二项式系数的最大项：如果二项式的指数n 是偶数时，则中间项为第（ n ? 1）项的二项式 2 n 系数C 2 取得最大值；如果二项式的指数n 是奇数时，则中间项有两项，分别为第 n n ? 1 2  项和第 n ? 3 n?1 n?1 项，对应的二项式系数C 2 n 2 ， C n 2 同时取得最大值。 nnnT ? T n n n ? n -1 n ?1bn -1 T ? C n ?1 n -1