01 第一节 二次型及其矩阵.docxVIP

第五章 二次型 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 ax2 ? bxy ? cy2 ? 1 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 ???x ? x?cos? ? y?sin? y ? x?sin? ? y?cos? ? ? 把方程化为标准形式  mx?2 ? cy?2 ? 1 . 这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化， 讨论n 个变量的二次多项式的化简问题. 第一节 二次型及其矩阵 内容分布图示 ★ ★ 二次型的定义 二次型的矩阵形式 ★ ★ 例 1 例 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ ★ 线性变换 矩阵的合同 ★ 例 6 ★ 内容小结 ★ ★ 习题 5-1 返回 内容要点： 一、二次型的概念 定义 1 含有n 个变量 x , x 1 2  ,?, xn  2的二次齐次函数 2 f (x , x 1 2 ,?, xn ) ? a x 2 11 1 a x 2 ?22 2 ? ? ? ann xn 2a x x 12 1 2 ? 2a x x 1n 1 n 2a x x 23 2 3 ? ? 2a2n x2 xn ? ? ? 2an?1,n xn?1 xn 称为二次型. 当a ij 为复数时， f 称为复二次型；当a ij 为实数时， f 称为实二次型.在本章中 只讨论实二次型. 只含有平方项的二次型 f ? k 1  y2 ? k 1 2  y2 ? ? k y2 ?2 n n ?  称为二次型的标准型(或法式). 二、二次型的矩阵 取 a ? a ji ij ,则2a x x ij i j ? a x x ij i j a x ji j x , 于是 i f (x , x 1 2 ,?, xn ) ? a x 2 11 1 a x x 12 1 2 ? a x x ?1n 1 n ? a x x 21 2 1 a x 2 22 2 ??? a2n x2 xn 2????????? 2 a x x n1 n 1 a x x n2 n 2 ??? ann xn ? ?n i, j ?1 a x x ij i j ? x (a x 1 11 1 a x 12 2 ? a x ) ?1n n ? x (a x 2 21 1 a x 22 2 ??? a2n xn ) ?????????? x (a x n n1 1 a x n2 2 ??? ann xn ) ? a x ? a x ??? a x ? ? 11 1 12 2 1n n ? ? (x , x ,?, x ? a x ? a x ??? a x ? )? 21 1 22 2 2n n ? ?1 2 n ??????? ? ? ? a x ? a x ??? a x ? ? n1 1 n2 2 nn n ? ? a a ? a ?? x ? )? 11 12 1n ?? 1 ? ) ? (x , x ,?, x ? a21 a22 ? a2n ?? x2 ? 1 2 n ? ? ? ? ? ?? ? ? ? X T AX . ? a? n1 a an2 ? a ?? ? xnn ?? n ? x ? x ? ? a a ? a ? ? 1 ? ? 11 12 1n ? 其中 X ? ? x2 ? A ? ? a21 a22 ? a2n ? . ? ? ?, ? ? ? ? ? ? ? x ? ? a a ? a ? ? n ? ? n1 n2 nn ? 称 f (x) ? X T AX 为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵 A 称为该二次型的矩阵.二次型 f 称为实对称矩阵 A 的二次型. 实对称矩阵 A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型 f 与其实对称矩阵 A 之间有一一对应关系. 三、线性变换 定义 2 关系式  ?x ? c y ? c  y ??? c y ? 1 11 1 12 1n n ?x ? c y ? 2 21 1 c22 y ??? c2n yn ???????????? ??x ? n ? c y n1 1 cn2 y ??? cnn yn 称为由变量 x , x 1 2 ,?, xn 到 y , y 1 2 ,?, yn 的线性变换. 矩阵 ? c c ? c ? ? 11 12 1n ? C ? ? c21 c22 ? ? ? ? c2n ? ?? ? ? ? c? c ? n1 cn2 ? cnn ? 称为线性变换矩阵. 当| C |? 0 时，称该线性变换为可逆线性变换. 对于一般二次型 f