01 第一节 消 元 法.docxVIP

第三章 线性方程组 在第一章里我们已经研究过线性方程组的一种特殊情形，即线性方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且方程组的系数行列式不等于零的情形. 求解线性方程组是线性代数最主要的任务，此类问题在科学技术与经济管理领域有着相当广泛的应用，因而有必要从更普遍的角度来讨论线性方程组的一般理论. 本章主要讨论一般线性方程组的解法，线性方程组解的存在性和线性方程组解的结构等内容. 第一节 消 元 法 内容分布图示 ★ 引例 ★ 线性方程组 ★ 线性方程组解的判定定理 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ n 元线性方程组的求解 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 3-1 ★ 返回  ★ 例 5 内容要点：  ?2x  ? 2x ? x ? 6 ?引例 用消元法求解下列线性方程组: ?x ? 1 2x 2 3 ? 4x ? 3 ? 1 2 3 ?5x ? 7x ? x ? 28 1 2 3 通常把过程①-④称为消元过程，矩阵④就是行阶梯形矩阵，与之对应的方程组④则称为行阶梯方程组. 从上述解题过程可以看出,用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复实施以下三种变换: 交换某两个方程的位置; 用一个非零数乘某一个方程的两边; 将一个方程的倍数加到另一个方程上去. 以上这三种变换称为线性方程组的初等变换 . 而消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组, 显然这个阶梯形方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方程组得原方程组的解. 如果用矩阵表示其系数及常数项, 则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程. 将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的, 所以，同一个方程组的行行阶梯形方程组也不是唯一的. 特别地，我们还可以将一个一般的行阶梯形方程组化为行最简形方程组, 从而使我们能直接“读”出该线性方程组的解. 通常把过程⑤-⑧称为回代过程. 从引例我们可得到如下启示: 用消元法解三元线性方程组的过程, 相当于对该方程组的增广矩阵作初等行变换. 对一般线性方程组(1)是否有同样的结论? 答案是肯定的. 以下就一般线性方程组求解的问题进行讨论. 设有线性方程组 ?a x ? a x ??? a x ? b ? 11 1 12 2 1n n 1 ?1?a21x ? 1 a x 22 2 ??? a2n xn ? b 2 (1) ? ????????? ??a x ? m1 1 a x m2 2 ??? amn xn ? b m其矩阵形式为 AX ? b (2) m ? a a ? a ? ? x ? ?b ? ? 11 12 1n ? ? 1 ? ? 1 ? 其中 A ? ? a21 a22 ? a2n ? ? x ? X ? ?b ? b ? ? ?, ? 2 ?, ? 2 ?, ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? a a ? a ? ? x ? ?b ? m1 m2 mn ? n ? ? m ? A称矩阵( A b) （有时记为 ~ ）为线性方程组(1)的增广矩阵. A ?当b ? 0, i ? 1,2, , m 时, 线性方程组(1)称为齐次的; 否则称为非齐次的. 显然，齐次线 ? i 性方程组的矩阵形式为 AX ? 0 (3) 定理 1 设 A ? (a ij ) m?n , n 元齐次线性方程组 Ax ? 0 有非零解的充要条件是系数矩阵的秩 r( A) ? n. 定理 2 设 A ? (a ~ ij  ) m?n  , n 元非齐次线性方程组 Ax ? b 有解的充要条件是系数矩阵A 的秩 ~ A等于增广矩阵 A ? ( A b) 的秩, 即 r( A) ? r( A). A 注：记( A b) ? ~ ，则上述定理的结果，可简要总结如下: Ar( A) ? r( ~) ? n ? Ax ? b有唯一解； A Ar( A) ? r( ~) ? n ? Ax ? b有无穷多解； A A(3) r( A) ? r( ~) ? Ax ? b无解； A r( A) ? n ? Ax ? 0只有零解. r( A) ? n ? Ax ? 0有非零解. 而定理的证明实际上给出了求解线性方程组(1)的方法: 对非齐次线性方程组，将增广矩阵 ~ A 化为行阶梯形矩阵，便可直接判断其是否有解， A若有解，化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解. 其中要注意，当r( A) ? r( ~) ? r ? n 时， A A~ 的行阶梯形矩阵中含有r 个非零行，把这r 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由 A 量，其余n ? r 个作为自由未知量. 对齐次