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第四章 矩阵的特征值与特征向量 第一节 向量的内积 在第三章中，我们研究了向量的线性运算，并利用它讨论向量之间的线性关系，但尚未涉及到向量的度量性质. 1在空间解析几何中，向量 x? ? {x 1 , , }和 ? ? { x1xy y x 1 x y y , , } 的长度与夹角等度量性质可以 yy2 3 y y 通过两个向量的数量积 x? ? y? ?| x? || y? | cos( x?, y?) 来表示，且在直角坐标系中，有 1x? ? y? ? x 1  x122y3 3y ? x y ? x 1 2 2 y 3 3 x 2 ? x 2 x 2 ? x 2 ? x 2 1 2 3 本节中，我们要将数量积的概念推广到n 维向量空间中，引入内积的概念 内容分布图示 ★ 内积的定义与性质 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 向量的长度与性质 ★ 单位向量及 n 维向量间的夹角 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 正交向量组 ★ 向量空间的正交基 ★ 求规范正交基的方法 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 例 8 ★ 正交矩阵与正交变换 ★ 例 9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 4-1 ★ 返回 内容要点： 一、内积及其性质 定义 1 设有n 维向量  ? x ?  ? y ? ? 1 ? ? 1 ? ? x ? x ? ? 2 ?, ? y ? y ? ? 2 ?, ?? ? ?? ? x? ? x ? n ? ? ? y? n ? y 令 [x, y] ? x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? xn yn , 称[x, y] 为向量 x 与 y 的内积. 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为 ? y ? ? 1 ? [x, y] ? xT y ? (x , x ,?, x ? y ? 2 2 1 2 n )?? ?. 内积的运算性质 (其中 x, y , z 为 n 维向量, ? ? R) : (1) [x, y] ? [ y, x]; (2) [?x, y] ? ?[x, y]; (3) [x ? y, z] ? [x, z] ? [ y, z]; (4) [x, x] ? 0 ; 当且仅当 x ? 0 时, [x, x] ? 0 . ? ? y? ? y ? n ? 二、向量的长度与性质定义 2 令  || x ||?  [x, x]? x2 ? x2 ??? [x, x] 称|| x || 为n 维向量 x 的长度(或范数). 向量的长度具有下述性质: 1 2 n (1) 非负性 || x ||? 0 ;当且仅当 x ? 0 时, || x ||? 0 ; (2) 齐次性 || ?x ||?| ? ||| x || ; (3) 三角不等式 || x ? y ||?|| x || ? || y || ; (4) 对任意n 维向量 x, y , 有 [x, y] ?|| x || ? || y || . 注: 若令 xT ? (x , x 1 2 , , x ?n ? ), yT ? ( y , y 1 2 , , y ?n ? ), 则性质(4)可表示为 ?n i?1 x y ? ? ?ni? ?n i?1 x2 i ?n i?1 y2 i 上述不等式称为柯西—布涅可夫斯基不等式，它说明Rn 中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系. 当|| x ||? 1 时, 称 x 为单位向量. ? ? ? 对 Rn 中的任一非零向量 , 向量|| ? || 是一个单位向量,因为 ?|| ? ? || ? || || ? || || ? ||? 1. 注: 用非零向量? 的长度去除向量? ,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量? 单位化. 当|| ? ||? 0,|| ? ||? 0, 定义 称? 为n 维向量? 与? 的夹角. 三、正交向量组 ? ? arccos [?, ? ] (0 ? ? ? ? ) . || ? || ? || ? || 定义 3 若两向量? 与? 的内积等于零，即 [?, ? ] ? 0 ， 则称向量? 与? 相互正交. 记作? ? ? . 注: 显然,若? ? 0 , 则? 与任何向量都正交. 定义 4 若 n 维向量? ,? 1 2 , ,? ?r ? 是一个非零向量组，且? ,? 1 2 , ,? ?r ? 中的向量两两正交， 则称该向量组为正交向量组. 定理 1 若n 维向量? ,? 1 2  , ,? ?r ?  是一组正交向量组，则? , ,? ?1 r ?  线性无关. 四、规范正交基及其求法 定义 5 设V ? Rn 是一个向量空间， ① 若? ,? 1 2