01 第一节 矩阵的概念.docxVIP

第二章 矩阵 矩阵是代数研究的主要对象和工具，它在数学的其它分支以及自然科学、现代经济学、管理学和工程技术领域等方面具有广泛的应用. 在本课程中，矩阵是研究线性变换、向量的线性相关性及线性方程组求解等的有力且不可替代的工具, 在线性代数中具有重要地位. 第一节 矩阵的概念 内容分布图示 ★ 引例 1 ★ 引例 2 ★ 引例 3 ★ 矩阵的定义 ★ 两矩阵相等的概念 ★ 几种特殊矩阵 ★ 线性变换的概念 ★ 例 ★ 内容小结 ★ 习题 2-1 ★ 返 回 内容要点： 一、引例. 引例 1 线性方程组与数表的关系 引例 2 航空公司航班图与数表的关系 引例 3 某企业季度、产品、产值与数表的关系 二、矩阵的概念 定义 1 由m ? n 个数a (i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n) 排成的 m 行n 列的数表 ij ?a a a ? 11 12 1n ?a a a ? 21 22 2n ? ? ? ? ?a a a ? m1 m2 mn 称为 m 行 n 列矩阵, 简称m ? n 矩阵. 为表示它是一个整体, 总是加一个括弧, 并用大写黑体字母表示它, 记为 ? a a ? a ? ?? 11 12 1n ? ? a A ? ? 21 a22 ? a ? 2n ? (1) ? ? ? ? ? ???a a a ? ? ? m1 m 2 mn 这 m ? n 个数称为矩阵 A 的元素, aij称为矩阵 A 的第i 行第 j 列元素. 一个 m ? n 矩阵 A 也可 简记为  A ? A m?n  ? (a ij  ) m?n  或A ? (a ) . ij 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵, 本书中的矩阵都指实矩阵(除非有特殊说明). 所有元素均为零的矩阵称为零矩阵, 记为 O. 所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵. 若矩阵 A ? (a ij ) 的行数与列数都等于 n，则称 A 为n阶方阵, 记为 A . n 如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵. 定义 如果矩阵 A, B 同型矩阵, 且对应元素均相等 , 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A ? B . 三、几种特殊矩阵只有一行的矩阵  A ? (a 1  a2 ? an ) 称为行矩阵或行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 只有一列的矩阵 A ? (a , a 1 2 ? b , , a ) ?n ? ? ? 1 ? ? b ? B ? ? 2 ? ?? ? 称为列矩阵或列向量. n阶方阵  ?? 0 ? ? b? m ? b ? 0 ? ? 1 ? ? ? 0 ? 0 ? ? 2 ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? 称为n阶对角矩阵,对角矩阵也记为 0 0 ? n A ? diag (? , ? ,?, ? ) . n阶方阵 1 2 n ?? 1 0 0 ? ? ? ? ? 0 1 ? 0 ? ?? ? ?? 0 0 ? 1 0 0 ? 1 ? ? 称为n阶单位矩阵, n阶单位矩阵也记为 E ? En （ 或 I ? In ） 当一个 n阶对角矩阵 A 的对角元素全部相等且等于某一数 a 时，称 A 为 n阶数量矩阵, 即 a ?? 0 0 a ? ? ? A ? ? 0 a ? 0 ? . ?? ? ? ?? ? ?? 0 0 ? a ? ? 四、线性变换的概念 变量 x , x 1 2 , , x ?n ? 与变量 y , y 1 2 , , y ?m ? 之间的关系式： ? y ? a x ? a x ??? a x , ? 1 11 1 12 2 1n n ? y ? a x ? 2 21 1 a x 22 2 ? a x , ?2n n ? (2) ? ?????????? ?? y ? m ? a x m1 1 a x m 2 2 ? a x . ?mn n ? 称为从变量 x , x 1 2 , , x ?n ? 到变量 y , y 1 2 , , y ?m ? 的线性变换. 其中 a ij (i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n) 为 常数. 线性变换(2)的系数a 构成矩阵 A ? (a ) ，称其为线性变换(1)的系数矩阵. ij ij m?n 易见线性变换与其系数矩阵之间存在一一对应关系. 因而可利用矩阵来研究线性变换， 亦可利用线性变换来研究矩阵. 线性变换 ? y ? x ? 1 1 2? y ? x 2 ? 2 ???? ?? y ? x ? n n 称为恒等变换，其系数矩阵就是单位矩阵. 例题选讲： ? 1 0?  ?x ? x, ? x