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空间向量坐标法---解决立体几何问题 一．建立恰当的空间直角坐标系，能求点的坐标； 1、三条直线交于一点且两两垂直; 方便求出各点的坐标。 2、如何求出点的坐标： 先求线段的长度(特别是轴上线段)：由已知条件可全部求出来；若不能，则可先设出来。 （1）轴上的点--------X 轴--（a,0,0）, y 轴--（0,b,0）, z 轴--（0,0,c） 三个坐标面上的点 已知或求出过点作垂直轴的线段长度， X0y----（a, b, 0）, y0z------（0 ,b , c）, x0z-----（a, 0, c） 其它的点：已知或求出过点作垂直面的线段长度； 中点坐标：A(x y z ), B(x y z )----则线段 AB 的中点： ( x ? x y ? y z ? z 1 ,2 1 , 2 1 ) 1 , 1, 1, 1 2, 2, 2 2 2 2 23、动点问题的处理 待定系数法 2 法一：直接设出来，然后根据已知条件求出来 （1）轴上：( x,0,0) ，(0, y,0) 、(0,0, z) ；（2）面上：(x, y,0) 、( x,0, z) 、(0, y, z) ；（3）其它：(a, b, c) 。 法二：A(x 1,  z 1, 1  )、B(x y 2, 2,  )，M 是 AB 上的动点：设 2 M(a,b,c) ? ??， 由 ?? ? ? AM，用?  表示点的坐标。 4、有向线段的坐标：A(x y z ), B(x y z 1, 1, 1 2, 2, 2 )-----则 AB ?(x 2 x , y 1 2 y , z 1 2 z ) 1 二、重要公式或结论： ? ? 设 AB ?(x 1 , y , z 1 1 ) ， CD ?(x 2 , y , z ) 2 2 向量的数量积： ? ? ?AB CD ? ? x x 1 2 y y 1 2 z z 1 2 ， a ? b ? a ? b cos a, b 向量的模： AB ? ?1 ? ， 向量的夹角： x 2 x 2 ? y 2 ? z 2  cos  a, b ? a ? b a ? b CD两向量共线： AB / / ? CD ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 ? ?x , y 2 1 ? ? y , z 2 1 ? ?z 2 两向量垂直： AB ? CD ? AB ? CD ? 0 1、如图，长方体 ABCD ? A B C D , AB ? 2, AA ? 1, AD=1，AE 垂直 BD 于 E ，F 为 A B 的中点. 1 1 1 1 1 1 1 建立适当的坐标系求各点的坐标 及 AE 与 BF 的坐标。 （2）M 是 FD 上的点：若 FM ? 2 MD ，求 M 点的坐标 ?若 FD ? ? ，求 M 点的坐标（用 ? 表示） A D 1FAC 1 F A C 1 E C ? ? MD B D 1 B 文案大全 三、引入两个重要的空间向量 直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向 量. 如图,在空间直角坐标系中, 由 A?x , y .z ?与 B ?x , y .z  ?确定的 1 1 1 2 2 2 直线 AB 的方向向量是 AB?(x ?x,y ?y,z ?z) 平面的法向量 2 1 2 1 2 1 如果表示向量 n 的有向线段所在的直线垂直于平面α ,称这个向量垂直于平面α,记作 n ⊥α,这时向量 n 叫做平面α的法向量. 若法向量 n 的模为 1，则法向量 n 叫做平面α的单位法向量. 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图,设a ??x , y .z ?、b ? ?x , y .z ?是平面α内的两个不共线的 1 1 1 2 2 2 非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知, 若n ⊥ a 且 n ⊥ b ,则 n ⊥α. 换句话说, 若 n · a = 0 且 n · b = 0,则 n ⊥α. 求平面的法向量: （一）直接法：已知线段中存在 （二）待定系数法 步骤如下： 第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n =(x,y,z). ? ? 在平面中找两条相交直线，求其方向向量 AB ?(x , y , z ) ， BC ?(x , y , z ) 1 1 1 2 2 2 第二步(列):根据 n · AB = 0 且 n · BC = 0 可列出方程组? xx? y y?z z ?0 ? 1 1 1 ?x x? y y?z z ?0 2 2 2 第三步(解):把 z 看作常数,用 z 表示 x、y. 第四步(取):取 z 为任意正数(如 1，当然取