人教版第二十二章 一元二次方程基础知识.docxVIP

PAGE PAGE 1 第二十二章 一元二次方程 一元二次方程 一元二次方程：等式两边都是 ，只含有 （一元），并且未知数的的方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程三要素：（1） （2） （3）判断方法：先将方程化简，使等号的右边为0，然后观察是否具备三要素。 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理， 都能化成如下形式 ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。 一元二次方程的根：能使一元二次方程 的 的值叫做一元二次方程的 解，也叫做一元二次方程的根。 降次 解一元二次方程 直接开平方法：如果方程能化成 x 2  ? p 或?mx ? n?2  ? p(m ? 0, p ? 0) 的形式，那么直接开平方得 或 。 配方法：通过配成 来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 配方法解 ax2+bx+c=0（a≠0）步骤：（1） ：将 移到方程的右边，即ax2+bx =-c ：方程两边同时 ，即 x 2 ? b x ? ? c 。 a a ：方程两边都加上 ，使方程左边变成一个完全平方式， b b c b 即 x 2 ? x ? ( )2 ? ? ? ( )2 ，整理得 。 a 2a a 2a ：采用 解方程。 总结为：一 二 三 四 。 公式法：把一元二次方程的 代入求根公式，直接求出方程的解，这样解一元二次方程的方法叫做公式法。 求根公式：当? ≥0 时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为x= 的形式， 这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的 。 公式法解 ax2+bx+c=0（a≠0）步骤：（1）把方程化成 （2）确定 的值 计算 的值（4）当b 2 4ac ≥0 时，把a、b、c 及b 2 4ac 的值代入一元二次方程的 求根公式，求得方程的根；当b 2 4ac ＜0 时，方程 根的判别式：一般地，式子 叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母 表示它，即? = 。 判别式与根的关系：（1） ? ＞0 时，有 实数根，即x= ? =0 时，有 实数根，即 ? ＜0 时， 实数根 补充：（1）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、c 异号时，方程一定有 的实数根； （2）当c=0 时，方程一定有一个根为 。 因式分解法：把一元二次方程的一变化为 ，而另一边 成两个一次因式的积， 进而转化为求两个 的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。依据是若a ? b ? 0 ， 则a=0 或 b=0。 因式分解法解 ax2+bx+c=0（a≠0）步骤：（1） ：将方程右边化为 0 ：把方程左边的因式分解成两个一次因式的积 ：令每个因式都等于零，转化为两个一元一次方程 ：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 方法名称理论依据 方法名称 理论依据 适用范围 直接开平方法 平方根的意义 形如 x 2 ? p 或?mx ? n?2 ? p(m ? 0, p ? 0) 的一元二次方程 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 若 a ? b ? 0 ， 则a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 x 一元二次方程根与系数的关系：若 1 ， x2  是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根， 12则 x + x 1 2 x = , 1 x = 。 2实际问题与一元二次方程 2 列方程解应用题的一般步骤：（1） ：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的数量关系； ：设出未知数； ：关键步骤，找出能够表达应用题全部含义的一个 ，然后列出方程； ：求出未知数的值； ：检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意； ：写出答案并作答。 列一元二次方程常见题型：（1）增长率（降低率）问题 两次增长后总数= + + 两次降低后总数= - - 起始量为a，终止量为b，增长次数为n（通常为 2 次），设平均增长率（或降低率）为x，则存在的等量关系为 。 循环比赛问题 规定每两个队之间都要进行一场比赛，共赛a 场，设有x 个队，则每个队要赛 场，x 个队共比赛的场数为 ，则存在的等量关系为 。 商品销售问题利润= 总利润= × 若涨（降）a 元，少（多）销售b 件，则设若涨（降）ax 元，少（多）销售bx 件。 传染问题 两轮传染后总数= + + 若传染源数为a 个，两轮后总感染数为b 个，设每轮一个平均传染x 个，则存在的等量关系为 。 面积问题 求解不规则图形的面积问题，往往把不规则图形 成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图