高考圆锥曲线之弦长为定值问题.docxVIP

题型七：弦或弦长为定值问题 例题9、(07湖北理科)在平面直角坐标系中，过定点C (0, p)作直线与 抛物线x?=2 (p0)相交于A、B两点。 (I )若点N是点C关于坐标原点。的对称点，求△面积的最小值； (II)是否存在垂直于y轴的直线1,使得1被以为直径的圆截得弦长恒 为定值？若存在，求出1的方程；若不存在，说明理由。(此题不要求在答题卡 上画图) 本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础学问，考查综合运用 数学学问进行推理运算的实力和解决问题的实力. 解法1： (I )依题意，点N的坐标为N (0)，可设A (X1I) (x22),直线的方程为, 与x2=2联立得卜2 = 2py消去y w x2-22p2=o. [y = kx+ p. 由韦达定理得Xi2=2iX22p2. 于S1Mbn = S郎CN + ScN ~ T . 2p[X] 一 々I (II)假设满足条件的直线1存在，其方程为的中点为。)与AC为直径的圆 相交于点P、Q,的中点为H,则。” _LPQ,O,点的坐标为(五,卫3) 令“ — ￡=(),得4=々此时|尸。=〃为定值，故满足条件的直线1存在，其方 程为y ， 2 即抛物线的通径所在的直线. 解法2： 2x2 -kx-2 = 0 .由韦达定理得不+/=2，玉%2=-1? .?.N点的坐标为其 二抛物线在点N处的切细的斜率为它— （II）假设存在实数3使NA.NB = O. 由（I ）知附= 由（I ）知附= k2 ,NB =々—,2%； ,贝!| 一 4 一 8 -1--0,.,.一3 +』％2=（）,解得左=±2. 16 4 即存在k = ±2 ,使NA?NB = 0. 又由点到直线的距离公式得d= 7工. 71 + k2 /AfTn , S^bn — ? d ? AB = — , 2p Jl + k? J-2 + 2 - -/ 〃 2p~ J女~ + 2, 2 2 J1 +攵 2 （ID假设满足条件的直线t存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为 （%—0）（%—不）一（丁一.）0 — 乂）= 0,将直线方程代入得 设直线1与以为直径的圆的交点为P（X22）（X44），则有 令§ = 0,得a=f,此时/0 = 〃为定值，故满足条件的直线1存在，其方程 为y = g 即抛物线的通径所在的直线。 练习、（山东09理）（22）（本小题满分14分） 2 2 _ 设椭圆E:二+==1 （＞0）过M （2, V2 ） , N（指,1）两点，。为坐标原点， a b~ （I）求椭圆E的方程； O是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交 点，且。4_LO6?若存在，写出该圆的方程，并求|的取值范围，若不存在说明 理由。 2 2 解：（1）因为椭圆 E:= + 二=1 （〉0）过 M （2, V2 ） , N（指，1）两点， cT b 2 _ q 2二：椭圆E的方程为+ 2 _ q 2 二：椭圆E的方程为 + 11 以 所 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两 y = kx + m 个交点，且Q4_LO设该圆的切线方程为丁 =丘+加解方程组f 2 得 —+ —= 1 18 4 x2 + 2(fcv + m)2 = 8,即(1 + 2k2)x2 + 4klwc + 2m2 -8 = 0, 则△= 16 产病 _ 4(] + 2k之)(2 疗 - 8) = 8(8 严-m2+4)0, BP8^-m2+40 4km 2疗一8 y y2 = (kx、+ m)(kx y y2 = (kx、+ m)(kx2 + m) - k2x[x2 + hn(x、+x2) + m 2 V(2m2-8) 4k2 m2 2 +疗 m2-Sk2\ + 2k2 要使OA1OB ,需使用/ +%%=。，即婴券：;：.二0， irr 23/n2 8，所以 irr 2 3/n2 8 ，所以 3加_842—8 = 0,所以忆2=近又8^2-m2+40,所以 8 疝之|,即密乎或般-手,因为直线1人”为圆心在原点的圆的一 条切线,所以圆的半径为〃=不『Vi+Fr2 条切线,所以圆的半径为〃=不『 Vi+F r2 m~ 1 + V ? 3m2-8 3 1 + 8 的圆为“2:|,此时圆的切线心+加都满足联手或心平，而当 切线的斜率不存在时切线为一半与椭圆在白的两个交点为 （半,土半）或（—半，土半）满足。4 J_ 06 ,综上，存在圆心在原点的圆 V + y2=|使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点，且以,。反 因为4km 因为 4km 2m2-8 二匚[“/ 、2 / 24 / 4km . 2j 2m2 - 8 8(8Z:2 -m2 +4) 所以。—M)=(X)+ x9)