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一阶偏微分方程 1、特征线法2、非线性波与追赶现象 §1.1 一阶偏微分方程的定解问题偏微分方程与常微分方程求解思路的不同 常微分方程：求方程通解，初、边值定常数 一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数 二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解 例，一阶PDE 通解 初值问题（Cauchy问题）初、边值问题（Riemann问题） 一般的一阶拟线性偏微分方程的问题 §1.2 特征线法的几何原理向量 ( P, Q, R ) 与解曲面u=u(x,y)的法线方向 相互垂直，与 ( P, Q, R ) 共线的线元(dx, dy, du)必定满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征曲线的全体构成解曲面u=u(x,y) 。 因此，特征线法的求解思路是 ——用特性曲线来编织解曲面 1。求出与向量场( P, Q, R ) 共线的特征曲线； 2、让该曲线通过初始曲线 特征线方程解x=x(s), y=y(s), u=u(s)含任意常数，由初始曲线 确定 解曲面由以下双参变量形式给出 参变量s 沿特征曲线方向变化， 参变量? 沿初始曲线方向变化。 例2.1 特征线方程初始曲线 解出 消去参变量 以积分常数形式给出的特征线解 特征方程通解初始曲线限制解曲面 例2.3 特征方程通解解曲面由初值得解 §1.3 特征线法的物理意义 波 动——物理量在空间的传播过程 特征线——物理量的传播轨迹，沿该轨迹的变化关系例1．管道中的溶质输送问题 特征线 初始曲线解得 x－vt＝ξ 图象——矩形方波以速度v 传播 c0xt =0t =t1t =t2vvv x-t 平面的特征线及图解法 例2．线性色谱问题 特征线 x轴给出的初值的解 t 轴给出的边值的解 x-t 平面的特征线 斜坡输入时的图象 例3 有化学反应时的色谱波动图象 ——浓度沿特征线传播时呈指数衰减线性波的特点 波速与因变量无关 保持初始间断和光滑性质不变 特征线不相交 §2 非线性波与追赶现象 1。追赶问题——稀疏波 身高曲线 初始分布 特征线 解得 图象—— 稀疏波 xh00hh00hxx?t = 0时刻的初始分布t = t1时刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0携带不同h值的特征线 2。追赶问题——激波初始分布：前低后高 解得 图象 xh00hx?/h0t0?t?/h0t=?/h0t?/h0t=0h=h0h=0? 特点 追赶，特征线相交，不真实的多值分布， 非线性本征属性原因：形成强间断——激波，微分方程失效 问题：补充间断面上的关系 3。激波间断关系 x0?xsxrxl?l, ql?r, qrdxs/dt 激波间断关系 熵条件处理含间断问题的原则：分段求解 例1 含有激波的追赶问题 间断条件 初值 图象 xh00hx?/h0t0?t?/h0t=?/h0t?/h0t=0CSI? 例2 非线性吸附反应器 特征曲线 波速 激波间断条件 特征线光滑解 将光滑解代入激波间断条件，解出激波轨迹 图象 x0cxt0t=t1S §3 化学剂段塞的色谱运动问题 物理图象：前沿——激波； 后缘——中心稀疏波 激波与稀疏波相互作用 特征线 解题思路 1。运动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解； 2。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与激波联立求解。 问题 特征线方程 初始曲线 1。运动初期激波稀疏波平台区 2。运动后期激波（浓度在变化）稀疏波（给出激波浓度） 联立得到 激波轨迹激波浓度段塞宽度 1、关于特征线法 几何上，一阶偏微分方程可以看成向量（P, Q, R ) 与曲面法向 之间的正交关系.特征线法就是先由向量（P, Q, R )求出满足方程的特征线，再以此为元素构造出解曲面。 物理上，波动总是从初始曲线出发沿特征线传播，特征线方程给出了波的速度和传播中的变化关系。 2、关于非线性波动的概念 线性波的波速与因变量无关，传播过程中保持初始间断或光滑性质不变，特征线不相交。 非线性波容易发生追赶，形成稀疏波和激波，其类型与通量曲线的性质和初始分布状况两方面因素有关。 处理激波问题的思路是：分段求解，联立确定。