二阶偏微分方程与分离变量法.pptVIP

二阶偏微分方程与分离变量法 1、二阶方程的分类2、分离变量法3、特征值理论4、特殊函数的应用5、典型问题分析 化学工程中常见的PDE对流－扩散－反应方程常微分方程：求通解，初值定积分常数；一阶偏微分方程：求通解，初值定任意函数；二阶偏微分方程：从问题出发确定求解方法。 二阶导数项占优时，一般采用以下两种方法求解 分离变量法：适用于有限空间区域； 积分变换法：适用于无限空间区域； 均化为常微分方程求解。 第四章二阶偏微分方程——方程的分类§1 二阶偏微分方程的分类令得 第四章二阶偏微分方程——方程的分类由线性代数，可通过线性变换将特征二次型化为对角型 第四章二阶偏微分方程——方程的分类二阶方程分类：当b2－ac ＜ 0时，曲线为椭圆，方程称为椭圆型方程当b2－ac = 0时，曲线为抛物线, 方程称为抛物型方程当b2 －ac＞0时，曲线为双曲线，方程称为双曲型方程 第四章二阶偏微分方程——方程的分类标准形式： 椭圆型方程 抛物型方程 双曲型方程 第四章二阶偏微分方程——方程的分类物理意义：椭圆型方程——位势方程，描述与时间无关的定常分布；抛物型方程——热传导方程，描述不可逆的发展演变；双曲型方程——波动方程，描述可逆的双向波动。 第四章二阶偏微分方程——方程的分类定解问题的提法——方程与初、边值的组合 初值问题(Cauchy问题) 边值问题 混合问题 第四章二阶偏微分方程——分离变量法§2 分离变量法 ——试探问题的变量分离形式的解例1 设 第四章二阶偏微分方程——分离变量法变量分离，得求X(x)的非零解，通过调整参数?的值 第四章二阶偏微分方程——分离变量法 ⅰ) 当?＜0时，方程的通解 c1 = c2 = 0，也即Ｘ(x)≡0 ⅱ) 当?=0时，方程的通解 c1 = c2 = 0，也即Ｘ(x)≡0 第四章二阶偏微分方程——分离变量法 ⅲ) 当?＞0时，方程通解具有如下形式 由边界条件X(0) = 0知c1 = 0, 再由 为了有非零解c2≠0，必须sin= 0，由此确定出参数? 第四章二阶偏微分方程——分离变量法由此得变量分离解 第四章二阶偏微分方程——分离变量法为满足初值，将解叠加由初值得解。 第四章二阶偏微分方程——分离变量法例2 矩形区域的Laplace方程例3 圆形区域的Laplace方程 令 第四章二阶偏微分方程——分离变量法特征值问题解得?＝n 第四章二阶偏微分方程——分离变量法由边值 第四章二阶偏微分方程——分离变量法得 得解。 第四章二阶偏微分方程——分离变量法小结：分离变量法 1、假设变量分离形式的解 2、导出并求解特征值问题 3、叠加成级数，满足初值或边值关键问题——特征值问题 能否通过调整不定参数获得齐次方程的非零解。 第四章二阶偏微分方程——分离变量法§3 分离变量法 ——非齐次方程与边界条件：化齐与展开1 、非齐边值的处理：迭加边值问题特解 ，化齐例1 第四章二阶偏微分方程——分离变量法 令 特解v(x)要求满足边值，有无穷多种选择，规范为 第四章二阶偏微分方程——分离变量法于是，问题化为w(x,t)的齐次边值问题方程化齐的要点，是要求叠加的特解v(x)既要满足边值，又要满足原微分方程，使得化齐后的问题最简单。 第四章二阶偏微分方程——分离变量法例2 令 第四章二阶偏微分方程——分离变量法 解出 问题化齐为 例3 环形区域上的热传导方程(p207) 第四章二阶偏微分方程——分离变量法方程与边值同时化齐 第四章二阶偏微分方程——分离变量法2 、非齐方程的处理：级数展开 难以直接分离变量，但可将所有函数按特征函数展开 第四章二阶偏微分方程——分离变量法 代入方程，得 第四章二阶偏微分方程——分离变量法 第四章二阶偏微分方程——分离变量法小结：分离变量法的关键 特征函数 级数展开 问题—— 特征函数的存在性？ 特征函数的正交性？ 特征函数的完整性？ 在一般条件下需要从理论上予以回答。 第四章二阶偏微分方程——分离变量法分离变量法的历史发展1700’s——弦振动方程的三角函数试探解(Tayler) 第四章二阶偏微分方程——分离变量法1800～1900’s——Fourier方法 无穷级数解 特征值问题 Fourier级数理论 Fourier变换1800’s——Strum－Liouville特征值理论 分离变量法的理论基础 特殊函数的应用 第四章二阶偏微分方程——特征值理论§4 特征值问题 1、正交性的定义 Fourier展开 第四章二阶偏微分方程——特征值理论 2、特征值理论定理一 存在着无穷多个实特征值定理二 当q(x)≥0时, 所有特征值非负 定理三 不同的所对应的特征函数带权ρ(x)正交 定理四 任意函数f (x)