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第 1 章 模糊集的基本概念; 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.;§1.2 模糊理论的数学基础; 集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为?(A).;分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪? = A ， A∩? = ? ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = ?；;映射与扩张;二元关系;关系的三大特性：;关系的矩阵表示法;关系合成的矩阵表示法; 例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系,;合成(° )运算的性质：;关系三大特性的矩阵表示法：;下面证明：;即ris= 1, rsj= 1.;集合上的等价关系; 定理：集合X 上的任一个等价关系R可以确定X 的一个分类. 即 ;例 设X = {1, 2, 3, 4}, 定义关系;格 ; 设(L,∨,∧)是一个格，如果它还满足下列运算性质：; 若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足：; 例1 任一个集合A的幂集?(A)是一个完全格.;§1.3 模糊子集及其运算; 例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为;模糊集的运算; 例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质量坏”，并设;模糊集的并、交、余运算性质 ;对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc， (A∩B)c = Ac∪Bc； ;§1.4 模糊集的基本定理; 定理1 设A, B??(U ) (A, B是论域U 的两个模糊子集)，?,??[0,1]，于是有?-截集的性质：;§2.1 模糊矩阵;模糊矩阵的并、交、余运算性质;模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂;合成(° )运算的性质：;( A∩B ) ° C ;模糊矩阵的转置;证明性质3：( A ° B )T = BT ° AT；( An )T = ( AT )n .;模糊矩阵的? - 截矩阵;对任意的?∈[0, 1]，有;性质3的证明：;§2.2 模糊关系;模糊关系的运算; (R1∪R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度， (R1∩R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc (x, y)表示(x, y)对???糊关系“非R”的相关程度.; 例 设身高论域X ={140, 150, 160, 170, 180} (单位：cm), 体重论域Y ={40, 50, 60, 70, 80}(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.;模糊关系的合成;模糊关系合成运算的性质;§2.3 模糊等价矩阵;模糊等价矩阵的基本定理; 定理3 若R是模糊等价矩阵,则对任意的0≤?＜?≤1, R? 所决定的分类中的每一个类是R?决定的分类中的某个类的子类.;模糊相似关系;模糊相似矩阵的性质;§2.4 模糊聚类分析;平移 ? 标准差变换;模糊相似矩阵建立方法;相似系数法 ----相关系数法;距离法;Boole矩阵法：;Boole矩阵法的步骤如下：;最佳分类的确定; 设X = (xij)n×m为n个元素m个指标的原始数据矩阵. 为总体样本的中心向量.; 如果满足不等式F＞F? ( r -1, n -r )的F值不止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，或者进一步考查差 ( F - F? )/F? 的大小，从较大者中找一个满意的F值即可.;§3.1模糊模型识别;模型识别的原理;§3.2 最大隶属原则;模糊向量集合族;最大隶属原则; 例1 在论域X=[0,100]分数上建立三个表示学习成绩的模糊集A=“优”,B =“良”,C =“差”.当一位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类？;B(88) =0.7;A(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0. ;例3 细胞染色体形状的模糊识别;先建