第07讲 定值问题（解析几何）（解析版）.docxVIP

第07讲 定值问题 知识与方法 圆锥曲线中的定值问题是近几年高考和竞赛中的热点题型，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线斜率、角的度数等) 的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关, 不依参数的变化而变化, 始终是一个确定的数值. 1. 定值问题的解法 (1)常规解法: 选定参数, 求出题目所需的代数表达式, 然后对表达式进行计算、化简、消参, 从而得到定值. 步骤为: 一选（选好参数）、二求(化简消参）、三定值（得到定值）. (2)特殊解法: 曲线系法, 仿射变换法等. 2. 两个技巧 定值问题的处理技巧: (1)思路：可从特殊情况入手 (如直线斜率不存在时）, 求出定值, 再证明这个值与变量无关; (2)运算：在运算过程中，应尽量减少所求表达式中变量的个数, 以利于向目标靠拢. 3. 三个定值模型 (1)圆锥曲线定义相关的定值; (2)圆锥曲线垂径定理: , 详见《垂径定理与第三定义》一节; (3)椭圆的共轭直径性质：详见 《椭圆的共轭直径》一节. 4. 八类常见的定值问题 (1)斜率为定值 (2)斜率之和（积）为定值 (3)斜率之比为定值 (4)角度为定值 (5)距离为定值 (6)面积为定值 (7)数量积为定值 (8)系数和为定值 典型例题 类型 1: 斜率为定值 【例1】 设椭圆 的左右焦点分别为 椭圆上点 到两焦点的距离之和为 , 椭圆的离心率为 . (1) 求椭圆 的方程; (2) 直线 与椭圆 在第一象限交于点 , 点 是第四象限的点且在椭圆 上, 线段 被直线 垂直平分, 直线 与椭圆 交于点 (异于点 ）, 求证直线 的斜率为定值. 【答案】(1) ；（2）证明见解析. 【解析】 (1) 设 , 由条件知, , 所以 , 所以 , 故椭圆 的方程为 . 由题得 的坐标为 , 直线 不与 轴垂直. 线段 被直线 垂直平分, 则直线 与 的倾斜角互补, 设直线 , 则直线 , 设 将直线方程代入椭圆方程 , 整理可得: , 方程两根为 与 , 由韦达定理得: , 所以 , 同理, 将 换成 , 可得 , 得 , 所以 , 所以直线 的斜率为定值 . 【注】这类问题不妨称为“一定二动斜率定值”模型，其高等数学背景为：当 与 的倾斜角都趋向于 时，直线 的斜率就趋向于过 的椭圆切线的斜率, 过程如下: 在 中, 两边对 求导有, , 把 代入有: , 解得 . 因此,可以确定所求的定值为 . (1)对于“一定二动斜率定值”这类问题，作为选择题或者填空题时利用导数法可迅速得到结果; 作为解答题时，则不宜利用此法，而应该利用它检验结果是否正确; (2)几个等价条件：“直线 的斜率与 的斜率互为相反数”, 等价于 “直线 与 的倾斜角互补”, 或者“直线 与 关于直线 对称” , 或者“直线 与 关于直线 对称”. (3)一般性的结论如下（请自行证明）: 结论 已知 是椭圆 上的定点, 直线 (不过 点）与椭圆交于 两点, 且, 则直线 斜率为定值 . 结论 2: 已知 是双曲线 上的定点, 直线 (不过 点）与双曲线交于 两点,且 , 直线 斜率为定值. 结论 3: 已知 是抛物线 上的定点, 直线 (不过 点）与抛物线交于 两点, 若, 则直线 斜率为定值 . (证明过程略) 【例2】过抛物线 一定点 , 作两条直线分别交抛物线于 若 与 的倾斜角互补, 求证：直线 的斜率是常数. 【答案】见解析 【解析】设 , 直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 , 设直线 的斜率为, 由 相减得 y2 所以 kAB=y 由 PA,PB 倾斜角互补知: kP 所以 y1+y 【注】拋物线 y2=2px(p0) 上两点 Ax1,y 【例3】 已知椭圆方程为 , 点 , 设直线 经过点 且与 交于不同的两点. ,, 试问：在 轴上是否存在点 , 使得 与直线 的斜率之和是定值？若存在请求出点 的坐标以及定值, 若不存在请说明理由. 【答案】见解析. 【解析】设直线 的斜率为 , 则其方程为 , 即 , 由图可知, 若 与椭圆有两个交点, 则. . . 假设存在点 满足题意, 设 联立 则 令 为常数 , 则 对任意 都成立, 比较系数可得 . 故存在 , 使得 为定值 1 . 类型 2: 斜率之积为定值 【例4】已知椭圆 的上、下顶点分别为 , 点 在椭圆上, 且异于点 , 直线 、 与直线 分别交于点 , 设直线 的斜率分别为 , 求证: 为定值. 【答案】见解析. 【解析】证明：由题设椭圆可知, 点 . 令 , 则由题设可知