医学高等数学课件-导数的概念.pptVIP

例如, 0 1 1/π －1/π 例5 解 例6.已知 y= a+bx, x≤0 在x=0可导，求a, b之值. e-x, x0 解：? f (x)在 x=0 可导， ? f (x)在 x = 0连续，f (0) = a 又 从而 f (x)= 1+bx, x≤0 e-x, x0 f (0)=1 故 a=1. 由可导性： 故 b = –1， 此时函数为 此时， f (x) = 1?x, x ≤ 0 e–x, x 0 内容小结 1. 导数的实质: 3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 : 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. 2. 增量比的极限; 切线的斜率; 思考与练习 函数 在某点 处的导数 区别: 是函数 , 是数值; 联系: 注意: 有什么区别与联系 ? ？ 与导函数 补充练习 原式 是否可按下述方法作: 例1. 设 存在, 求极限 解: 原式 例2 解 课后作业 P64 一、(1)-(4) 二、 (1)-(4) 三、1-3,5 四、1-5 第二章 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 一元函数微分学 英国数学家 Newton 2.1 导数的概念 2.1.1 引例 2.1.2 导数的定义 2.1.3 导数的几何意义 2.1.4 函数的连续性与可导性的关系 2.1.1 引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动 以自由落体运动为例，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度为 速度反映了路程对时间变化的快慢程度 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 两个问题的共性: 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变化率问题 2.1.2 导数的定义 定义1. 设函数 在点 存在, 并称此极限为 记作: 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数. (2-1) 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 若 也称 在 注意: 就说函数 的导数为无穷大 . (2-1) (2-1) 在上式中，令 ，则可得导数定义的 等价形式： 设函数f (x)在 [x0, x0+? ) 内有定义，若 即极限存在，则称 a为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为 单侧导数 设函数 f (x) 在 (x0–? , x0] 内有定义，若 即极限存在，则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为 定理. 函数 在点 且 可导的充分必要条件 是 应用情境：主要用于分段函数在分段点处的可导性判断。 导函数 若?x?(a, b), 函数f (x)皆可导，则说f (x)在(a, b)内可导. 这时f ?(x)是关于 x 的一个新函数，称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数，通常我们仍称之为 f (x)在 (a, b)内的导数： 记作: 若f (x)在(a, b)内可导， 且 存在，则称f (x)在 [a, b]上可导，f ?(x)称为f (x)在[a, b]上的导函数, 简称为导数 函数在点 x0?I的导数: 问题：半开半闭区间上的导函数又该如何定义呢？ 由定义求导数（三步法） 步骤: 例1：求函数y=x2的导函数y，并计算x=2处的导数值。 解： 因此， 例2：血药浓度减少的问题：药物一次静脉注射后，时刻t的血药浓度有以下规律： 其中C0为静脉注射后药物达到扩散平衡时的血药浓度。k为参数，依赖于个体和药物的特性，可有实验测定。求血药浓度减少的瞬时速度。 解： 2.1.3 导数的几何意义 切线方程: 法线方程: 函数f (x)在点 x0 的导数 f ?( x0) 就是对应的平面曲线 y=f (x) 在点 (x0, y0) 处的切线的斜率k : 曲线y=f (x)在点 x0 处的切线可能垂直于x轴、平行于 x 轴、或不存在，这些反映出的导数值是： 切线平行于x轴： 即k = tg? = 0 切线垂直于x轴： 即k = tg? = ?