医学高等数学课件-多元函数的概念与性质.pptVIP

一、多元函数概念 [定义1] 设有三个变量x, y, z,如果变量x, y在允许的区域内任意取定一对值时，变量 z 按着一定的规律总 有唯一确定的值与之对应，则变量z 称为x, y的二元函数，记作 其中x, y 称为自变量，z 称为因变量。 z=f (x, y) 引例: ? 圆柱体的体积 二、邻域 球邻域： 圆邻域：以一点P0(x0,y0)为圆心，长度为半径δ的圆形区域（不包括圆周），记作： 它的平面区域是 其中(x,y)是邻域内的一点。 例3 求下列函数定义域： (2) 例4 求下列函数定义域： (2) (1) (1) 4.1.3 二元函数的极限与连续性 定义2 ? 设二元函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义（在P0处可以无定义），如果P(x,y)沿任何路径无限趋于定点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无限趋于一个常数A,则称A是函数当 P(x,y)→P(x0,y0)时的极限 记作 或 其中这里ρ=|PP0|= 对于该定义，应注意以下两点： 1.即使当点P(x,y)沿着许多特殊的方式趋近于P0时， 对应的函数值都趋近于同一个常数，也不能判定 2.当P沿着两条不同的曲线趋近于P0时，函数f(x,y) 趋近于不同的值，可以断定极限 不存在 的存在。 * * * * * * * 柱面都是直纹面，而且都是可展曲面 * 如果例1换成sin(x2+y2)/(x2+y2)呢？ * 注意定义区域，可以随便画一个图，如果有定义域中除了区域外，还有单独线和点的话，那么在线和点上的极限就不能直接代入进入，得另外方式计算极限。 * 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分学 一元函数、极限与连续 一元函数的导数 一元函数的极值 4.1.1空间解析几何简介 一、空间直角坐标系 4.1 多元函数、极限与连续 八个卦限 z y x 0 一、 空间直角坐标系 八个卦限 z y x 0 . 一、 空间直角坐标系 八个卦限 z y x Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 0 M x y N z (x,y,z) M ? (x,y,z) 点的坐标 一、 空间直角坐标系 0 z y x 0 M x y N z (x,y,z) (x,y,z) 坐标和点 ? M 一、 空间直角坐标系 0 z y x 0 N M点到坐标面的距离 M点到原点的距离 M点到坐标轴的距离 P Q 到z轴: 到x轴: 到y轴: M (x,y,z) d1 d2 d3 . . . 一、空间直角坐标系 0 z y x .P2 .P1 二、空间两点间的距离 设P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)为空间任意两点，则 其距离为 例1 求证以P1(-1,4,8)和P2(-2,7,3) P3(2,3,13)三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 证明：因为 所以，此三角形是等腰三角形 (4-1) 则方程(4-2)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(4-2)的图形。 三、空间曲面与曲线 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)=0 (4-2) 有下述关系： (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程(4-2)； (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(4-2)。 1. 平面方程 一般式方程： 点法式方程： Ax+By+Cz+D=0， 截距式方程： 2.二次曲面方程 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了解三元方程F(x,y,z)=0所表示的曲面的形状，我们通常采用平行截口法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即平行截口法）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用平行截口法考察下面的二次曲面。 x z y 0 1. 椭圆抛物面 . x z y 0 平行截口法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 1. 椭圆抛物面 a b z x y o 2. 椭圆柱面 z x y o 3. 抛物柱面 四、空间曲线一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线。设F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0 是两个曲面的方程，它们的交线为C。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组 这个方程组叫做空间曲线C的一般方程。 例2 方程组 与 的交线？ 由此可看出：表示空间曲线的方程组不是唯一的。 解：交线都是xOy平面上的圆周： 4.1.2 二、邻域 一、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 多元函数概念 * * * * * * * 柱面都是直纹面，而且都是可展曲面 * 如果例1换成sin(x2+y2)/(x2+y2)呢？ * 注意定义区域，可以随便画一个图，如