医学高等数学课件-定积分的元素法 .pptVIP

(L.P184) (L.P184) (L.P183) 典型P282 例1.24 定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 表示为 一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “分割, 近似, 求和, 取极限” 定积分定义 一个整体量 ; 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的 微分表达式 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环等 近似值 精确值 三、旋转体体积 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 例2. 计算抛物线 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 当 a = b 时得圆面积公式 套用课本P80结果 二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 则称 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (P102) 例4. 求连续曲线段 解: 的弧长. 三、旋转体体积 设所给旋转体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, a b x y o y=f (x) 旋 转 体 体 积 x x+dx 体积微元 | f(x)| 特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 例5. 计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 四、连续函数在[a,b]上的平均值 在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。若有一组数y1, y2 , …yn ，则其算术平均值为 算数平均值讨论的是有限个值，而我们要讨论的是连续函数f(x)在[a,b]上的一切值的平均值。 即f(x)在[a, b]上的定积分除以区间的长度b- a。 例. 求函数 在定义域上的平均值。 解. 根据平均值公式，且定义域为[-2,2] 定积分在物理学上的应用 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 例1. 一个单 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 说明: 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 例2. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 ( KJ ) 设水的密度为 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 定积分在医学上的应用 面积 平均值 M 如图，已知一段刚性血管长为L，半径为R，左端血压为p1，右端血压为p2，血管截面M上某点与血管中心距为r，其流速为 其中η为血液粘滞系数，求单位时间内通过该截面M的血流量Q。 例1：求脉管稳定流动中的血流量 x y o r r+dr 血流量微元： 因此，单位时间内通过此横截面的血流量为： R 显然，0≤r ≤R (L.P184) (L.P184) (L.P183) 典型P282 例1.24