高阶导数和函数的微分.pptxVIP

高阶导数和函数的微分会计学第1页/共14页§2.4高阶导数 前面我们学习了函数的各种求导法。显然y=x2 的导数是y?=2x，而y?=2x这个函数仍然可导，(2x) ?=2. 同样地，若函数y=f(x)可导，且其导数y?= f ?(x)仍然可导，即[f ?(x)]?存在，则称[f ?(x)]?为函数y=f(x)的二阶导数。 定义2.2 对于函数y=f(x)，若其导数y?= f ?(x)可导，则称y?= f ?(x)的导数[f ?(x)]?为函数y=f(x)的二阶导数，记作：y??或f ??(x)或或y(2)。 即：y??=(y?)?，f ??(x)=[f ?(x)]?。第2页/共14页 类似地，若函数y=f(x)的二阶导数y??仍可导，则称y??的导数为y=f(x)的三阶导数， 记作：y(3) ，即y(3) =(y??)?。 依此类推，若函数y=f(x)的n?1阶导数y( n?1) 可导，则称y( n?1)的导数为y=f(x)的n阶导数， 记作： y( n) ，即y( n) =[y( n?1) ]?。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。第3页/共14页例1设y=ln(2?2x)，求y??解 先求一阶导数y?=[ln(2 ?2x)]?再求二阶导数y?? =(y?)?例2设y(6)=x2sinx，求y(8)解=2sinx+2xcosx+2xcosx+x2(?sinx)=2sinx+4xcosx ?x2sinx第4页/共14页例3求下列函数的n阶导数：（1）y=sinx;（2）y=xn.(1) 解: 一般地 ,类似可证:第5页/共14页（2）y?=(xn) ?=nx n?1y?? =(nxn?1) ?=n(n?1)xn?2y??? =[n(n?1)xn?2]?=n(n?1)(n?2)xn?3 于是，可知=n(n?1)(n?2)?????1y (n)=n！1.求下列函数的二阶导数（1）y=ex?lnx （2）y=x2 e-2x （3）y =第6页/共14页练习：2.求 y = e 2x，(n?N)的n阶导数得增量时,时为高阶无穷小称为函数在 的微分第7页/共14页§2.5函数的微分一、微分概念其引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,边长由变到问此薄片面积改变了多少? 取设薄片边长为 x , 面积为 A , 则当 x 在面积的增量为关于△x 的线性主部故第8页/共14页定义设函数y=f(x)在点x可导,自变量在点x的改变量为?x，则乘积函数f ?(x) ?x称为函数y=f(x)在点x的微分，即dy= f ?(x) ?x记为dy.这时，也称函数y=f(x)在点x可微。对函数y=x，由于y? =(x)?=1 ，因而dy=dx=1? ?x = ?x 于是，函数y=f(x)的微分，一般记为dy=f ?(x) dx即函数在点x的微分等于函数在点x的导数与自变量微分的乘积。改写为导数又称为微商。第9页/共14页定理函数y=f(x)可导。函数y=f(x)可微的充分必要条件是函数y=f(x)在点x0的微分记为dy|x=x0即dy|x=x0 = f ?(x0) dx例1 若y =f(x) =x2，求x =1, ?x =0.01时函数的改变量?y与微分dy .解由上述条件，x =1, ?x =0.01，因此?y = f(1+?x)?f(1)= (1+?x)2?12= 0.0201f ?(1)= (x2)?|x=1=2x|x=1=2，当x =1, ?x = 0.01时，于是dy = f ?(1) ? ?x = 2?0.01= 0.02练习：设y =x2+x，求在x =1, ?x =0.1 ，?x =0.01时函数改变量?y与微分dy .例2求下列函数的微分：第10页/共14页二、微分计算dy= f ?(x) dx解 （1）由于所以（2）由于所以（3）由于所以第11页/共14页练习:求下列函数的微分：第12页/共14页小结1.求导法则及其应用2.高阶导数理解高阶导数的概念，掌握二阶导数的求法3.函数微分的求法dy|x=x0 = f ?(x0) ?xdy= f ?(x) dx作业第13页/共14页P51 A组 1 2(1)P53 A组 2 (3) (5) (6) 3 (书上) B组 2