多元函数的极值与最值15853.pptxVIP

1 例1 例２ 例３ 第1页/共43页 2 播放 第2页/共43页 3 第3页/共43页 4 第4页/共43页 5 第5页/共43页 6 第6页/共43页 7 第7页/共43页 8 第8页/共43页 9 第9页/共43页 10 第10页/共43页 11 极值的求法 （称驻点） 驻点或不可导点 极值点 注意： 定理1（必要条件） 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 点 是函数 的不可导点，不是极值点 第11页/共43页 12 定理2（充分条件） 第12页/共43页 13 例4 解 无极值 极小值-5 极大值31 无极值 驻点 第13页/共43页 14 二元函数的最值 若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点. 设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2，数量为x；而B 的单价为1，数量为y，而产量为 例5 解 且商品售价为5,求最大利润. 利润函数为 第14页/共43页 15 令 解得唯一驻点 唯一驻点为极大值点， 即为最大值点， 最大利润为 第15页/共43页 16 例6 解 第16页/共43页 17 第17页/共43页 18 解 例7 总利润为 第18页/共43页 19 令 解得 第19页/共43页 20 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？ 二、条件极值与拉格朗日乘数法 实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题. 例8 解 即表面积最小. 代入目标函数,化为无条件极值问题： 第20页/共43页 21 内部唯一驻点,且由实际问题S有最大值,故做成立方体表面积最小. 这种做法的缺点： 1.变量之间的平等关系和对称性被破坏； 2.有时隐函数显化困难甚至不可能. 第21页/共43页 22 拉格朗日乘数法 引入拉格朗日函数 若这样的点唯一,由实际问题,可直接确定此即所求的点. 第22页/共43页 23 则构造拉格朗日函数为 令 第23页/共43页 24 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？ 例8 解 由实际问题,即为最小值点. 第24页/共43页 25 在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点. 第25页/共43页 26 例9 解 解得唯一驻点 即做成正三角形时面积最大. 第26页/共43页 27 三角形中,以正三角形面积为最大: 四边形中,以正方形面积为最大： 第27页/共43页 28 解 例10 先求函数在D内的驻点， 解方程组 第28页/共43页 29 第29页/共43页 30 例11 解 第30页/共43页 31 由 由实际问题，此即最佳分配方案. 第31页/共43页 32 解法1 例12 因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润， 第32页/共43页 33 因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润， 解法2 例12 第33页/共43页 34 练习： P317 习题八 第34页/共43页 35 附录、最小二乘法 第35页/共43页 36 例 价格与供给量的观察数据见下表： x (元) 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 y (吨) 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110 散点图 由图可以看出，x 与 y 之间存在一定的相关关系，且这种关系是线性关系. 第36页/共43页 37 达到最小. 上述估计a,b的方法称为最小二乘法. LSE (Least Square Estimation) 求线性经验公式(回归直线方程) 使 第37页/共43页 38 —— 称为正规方程组 第38页/共43页 39 系数行列式 所以方程组有唯一解 第39页/共43页 40 记 则 第40页/共43页 41 例 价格与供给量的观察数据见下表： x (元) 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 y (吨) 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110 求 y 对 x 的回归方程. 解 第41页/共43页 42 所以所求回归方程为 第42页/共43页 43 感谢您的观看！ 第43页/共43页