微分方程分析和总结.docxVIP

微分方程 第十一章 微分方程 函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中 遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数 及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解方程。 第一节 微分方程的基本概念 定义 1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。 如： y ? ? y?2 ? xy ? 1 二阶方程； y?2 ? xy ? 0 一阶方程； y ? ? x 三阶方程，等等 讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之， y ? ? x ，方程两边三次积分，得方程的解 1 1 1 y ? x4 ? C x2 ? C x ? C （ C , C , C 为任意常数）。当 y ? x4 时，也满足方程。可见 24 2 1 2 3 1 2 3 24 1 1 y ? x4 ? C x2 ? C x ? C  包括了所有的解的形式。则称它为通解。 24 2 1 2 3 定义 2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数， 则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。 注 1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解 注 2：一阶方程的几种形式：一般形式： F (x, y, y?) ? 0 ，从这个方程种有可能解出 y? ，也有可能解不出来；一阶 y? ? f (x, y) dy ? P(x, y) Pdx ? Qdy ? 0 显式方程： ；对称形式： dx Q(x, y) 或 注 3：在一阶方程种， x 和 y 的关系是等价的.因此，有时可将 x 看成函数， y 看做变量。 第二节 可分离变量方程 定义 1：称能改写为形式： f ( y)dy ? g(x)dx 的一阶方程为可分离变量方程。注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。 定理 1：若 F ?( y) ? f ( y) ， G(x) ? g(x) ，则 f ( y)dy ? g(x)dx 的通解为 F ( y) ? G(x) ? C 证： （1）先证 F ( y) ? G(x) ? C 是方程的解。 两边对 x  求导，得 f ( y) dy ? g(x) dx ，即 f ( y)dy ? g(x)dx 故 F ( y) ? G(x) ? C 是方程的解 （2）设 y ? ?(x) 是方程的任一解，则 f [?(x)]??(x)dx ? g(x)dx 两边关于 积分，得x ? f [?(x)]??(x)dx ? ? g(x 两边关于 积分，得 又 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， G(x) 是 g(x) 的一个原函数 则 F[? (x)] ? G(x) ? C ，即 y ? ?(x) 在 F ( y) ? G(x) ? C 中 所以， F ( y) ? G(x) ? C 为 f ( y)dy ? g(x)dx 的通解。 ?注 1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得通解。注 2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件。 ? 【例1】 求 sin x cos ydx ? cos x sin ydy ? 0 的通解，并求满足初始条件 y(0) ? 4  的特解。 sin x 解：方程可变为 cos x dx ? sin y cos y dy ，两边积分，得 ln cos x ? ?ln cos y ? ln C 即 cos y ? C cos x 为方程的通解。 ?又 y(0) ? ，代入，得 ? 4 ? cos 4 ? C cos 0 ?C ? 2 2 即满足初始条件的特解为 cos y ? 2 2 cos x 【例2】 求 y? ? ex? y 的通解。 dy解：由 y? ? ex? y ? exey ，分离变量，得 dy ey e? y ? ex ? c ，即为方程的隐式通解。  ? exdx ，两边积分，得 二、可化为齐次方程的方程 ?x ? X ? h dy ?  ax ? by ? c ??经? ? ? ? y Y k 变换将行如 dx a x ? b 1 1 y ? c 1 方程化为齐次方程。 dy 【例3】 求 dx ? x ? y ?1 x ? y ?1 的通解。 ?x ? X ? h dY 解：令 ? ，则 ? X ? Y ? (h ? k ?1) ? y ? Y ? k dX X ? Y ? (h ? k ?1) ?h