椭圆大题题型汇总例题+练习.docxVIP

椭圆大题题型 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换（7）x,y，k(斜率)的取值范围 （8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识： 1、中点坐标公式： x ? x ? x 1 2 y ? y ,y ? 1 2 ，其中 x, y 是点 A(x , y )，B(x , y ) 的中点坐 2 2 1 1 2 2 标。 2、弦长公式：若点 A(x , y )，B(x , y ) 在直线 y ? kx ? b(k ? 0) 上， 1 1 2 2 则 y ? kx 1 1 b，y 2 ? kx 2 b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， (x ? x )2 ? ( y ? (x ? x )2 ? ( y ? y )2 1 2 1 2 (x ? x )2 ? (kx ? kx )2 1 2 1 2 (1? k 2 )(x ? x )2 1 2 (1? (1? k 2 )[(x ? x )2 ? 4x x ] 1 2 1 2 (x ? x )2 ? ( y ? y (x ? x )2 ? ( y ? y )2 1 2 1 2 ( 1 x ? 1 x )2 ? ( y ? y )2 k 1 k 2 1 2 (1? 1 )( y ? y )2 k 2 1 2 (1? 1 (1? 1 )[( y ? y )2 ? 4 y y ] k 2 1 2 1 2 3、两条直线l 1 : y ? k 1 x ? b , l 1 2 : y ? k 2 x ? b 2 r r 垂直：则k k 1 2 ? ?1 两条直线垂直，则直线所在的向量v gv ? 0 1 2 4 、韦达定理： 若一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不同的根 x , x ， 则 1 2 x ? x ? ? b , x x ? c 。 1 2 a 1 2 a 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴， 用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题 1、过点 T(-1,0)作直线l 与曲线 N ： y2 ? x 交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点 E( x ,0)，使得?ABE 是等边三角形，若存在，求出x ；若不存在，请说明理由。 0 0 例题 2、已知椭圆 x 2 2 y 2 ? 1的左焦点为F，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O、F，并且与 x ? ?2 相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点G，求点G 横坐标的取值范围。 x 2 y 2 3 1 练习 1：已知椭圆C : ? a 2 b 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点(1, ) ，且离心率e ? 。 2 2 （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若直线l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直 1 平分线过定点G( ,0) ，求k 的取值范围。 8 练习 2、设 F 、 F 分别是椭圆 x2 ? y2 ? 1 的左右焦点．是否存在过点 A ( 5 , 0) 的直线 l 与椭 1 2 5 4 明理由．圆交于不同的两点 C、D，使得 F 2C ? F 2 D ？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说 明理由． 题型三：动弦过定点的问题 例题 3、已知椭圆 C： x2 ? a2 A1(-2,0),A2(2,0)。 求椭圆的方程； y2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为 3b2 2 3 若直线l : x ? t(t ? 2) 与 x 轴交于点T,点 P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线 PA ,PA 1 2 分别与椭圆交于M、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 例题 4、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3；最小值为 1； （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线l：y ? kx ? m 与椭圆C 相交于A，B 两点（A，B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 练习：直线l：y ? kx ? m 和抛物线 y2 ? 2 px 相交于 A、B，以 AB 为直径的圆过抛物线的顶