文档高数中需要掌握证明过程的定理a.docxVIP

高数中的重要定理与公式及其证明（二） 在第一期的资料内我们总结了高数前半部分需要掌握证明过程的定理，由于最近比较忙，所以一直没来得及写。现将后半部分补上。希望对大家有所帮助。 1）泰勒公式（皮亚诺余项） 设 函 数 f (x) 在 点 x 处 存 在 n 阶 导 数 ， 则 在 x 的 某 一 邻 域 内 成 立 0 0 f (x) ? f (x ) ? ?x ? x ? f (x ) ? ?x ? x ?2 0  f (x ) ? ... ? ?x ? x ?n 0  f (n) (x ) ? o ??x ? x ?n ? 0 0 0 2! 0 n! 0 ? 0 ? 【点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证明题中有很重要的应用。对于它们，我们首要的任务是记住常见函数（sin x,cos x,ln(1 ? x), ex ,(1 ? x)a ）在x ? 0 处的泰勒公式，并能 利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式，然后在解题过程中加以应用。在复习的前期， 如果基础不是很好的话，两种不同形式的泰勒公式的证明可以先不看。但由于证明过程中所 用到的方法还是很常用的。因此把它写在这里。 证明： ? 令 R(x) ? f (x) ? ? f (x ) ? ?  x ? x ? f (x ?x ? x ?2 ) ? 0  f (x  ) ? ... ? ?x ? x ?n 0 ? f ( n) (x )? ?? 0 0 0 2! 0 n! 0 ?? 则我们要证明 R(x) ? o ??x ? x ?n ? 。 ? 0 ? 由高阶无穷小量的定义可知，需要证明lim x?x 0 R(x) ?x ? x ?n 0 ? 0 。 这个极限式的分子分母都趋于零，并且都是可导的， 因此用洛必达法则得 ? ? ? ?x ? x ?n?1 ? f (x) ? ? f (x ) ? x ? x f (x ) ? ... ? ?n 0 ? f ( n) (x )? lim R(x) ? lim ?? 0 0 0 ?1 ! 0 ?? x? x 0 ?x ? x ?n 0  x?x 0 n ?x ? x 0 ?n?1 再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零，并且也都是可导的，因此可以再次运用洛必达法则。 不难验证该过程可以一直进行下去， 运用过n ?1次洛必达法则后我们可以得到 R(x) f (n?1) (x) ? f (n?1) (x ) ? ?x ? x ? f (n) (x ) lim x?x 0 ?x ? x ?n ?0 ? ? lim x?x 0 n!? 0 0 0 x ? x 0 f (n?1) (x) ? f (n?1) (x ) f (n) (x ) ? lim x?x 0 n!?x ? x ? 0 ? n! 0 0  f (n?1) (x) ? f (n?1) (x ) 由于 f (x) 在点 x 0 处存在n 阶导数，由导数的定义可知 lim x?x 0 ?x ? x ? 0 0 ? f (n) (x ) 0 代入可得lim x?x 0 R(x) ?x ? x ?n 0 ? 0 。 证毕 注 ： 这个定理很容易得到如下错误的证明： 直接用 n 次洛必达法则后得 到 R(x) lim ? lim f (n) (x) ? f (n) (x ) ? 0 x?x 0 ?x ? x ?n 0 x?x 0 0 错误的原因在于定理条件中仅告知了 f (x) 在点 x 处存在n 阶导数，并没有说明在其它点处 0 的 n 阶导数是否存在。就算 其它点处的 n 阶导数也存 在， f ( n ) (x) 也不一定连续， lim f (n) (x) ? f (n) (x ) ? 0 也不一定成立。 x? x0 0 希望大家注意。 2）泰勒公式（拉格朗日余项） 设函数 f (x) 含有点 x 的某个开区间 (a, b) 内有直到 n ?1阶导数，则对 (a, b) 内任意一点 0 x ，都成立 ? ? ?x ? x ?2 ?x ? x ?n f (x) ? f (x ) ? 0 x ? x 0 f (x ) ? 0 0 f (x ) ? ... ? 2! 0 0 f (n) (x n! 0 ) ? R n (x) 其中 R (x) ? ?x ? x 0 ?n?1  f (n?1) (? ) ，其中? 介于 x 和 x  之间。 n (n ?1)! 0 【点评】：同上。证明： ? ? ?  ?x ? x ?2  ?x ? x ?n ? 令 R(x) ? f (x) ? ? f (x ) ?